안녕하세요. 저는 수학을 단순한 문제풀이가 아닌 '배우는 방법을 알게 만드는' 대상으로 여기는 사람이 많아지길 바라는 수학교사입니다.
그래서 중학교 수학 내용을 가지고 하나씩 이야기 해보려고 합니다.
언제까지 적을 수 있을지 모르겠지만 중학교 1학년 첫번째 단원부터 차례대로 적어보겠습니다.
바로 소인수분해 단원입니다.
여러분들은 소인수분해를 왜 배우는지 아시나요? 아니 수학을 공부하며 '왜 배울까?'를 순수한 호기심으로 고민해보신 적이 있으신가요?
보통 수학을 왜배워요?라는 학생들의 질문은 대부분 수학에 대한 부정적 감정이 섞여 있는 좋지 않은 질문인 경우가 많습니다.
수학공부가 하기 싫고 힘들고 어려워서 한탄하는 질문이죠.
하지만 호기심 듬뿍 넣은 '왜 배울까?'의 질문은 수학을 제대로 배울 수 있게 하고, 수학을 즐겁게 만들 수 있습니다.
학생들은 초등학교 5학년 때 최대공약수와 최소공배수를 배웁니다.
그리고 중학교 1학년에 올라와서 소인수분해를 배우고 최대공약수와 최소공배수를 배우죠.
그리고 중학교에서는 다음과 같은 문제가 출제됩니다.
답이 얼마인가요? 기억이 나신다면 3과 5의 곱인 15가 최대공약수가 되어야 합니다!
그런데 학생들 중 상당수가 이렇게 해결하곤 합니다.
초등학교 방법을 쓰기 위해 소인수분해된 결과를 원래대로 되돌려 버리는 것입니다.
이런 경우 당연히 소인수분해를 제대로 배웠다고 볼 수 없겠죠.....
중요한 것은 왜 소인수분해를 하는가? 입니다.
일반적으로 수학 수업에서 '왜'가 드러나는 경우가 잘 없습니다.
소인수분해는 왜 하는 걸까요?
여기에는 어느 정도 수학적인 답변이 있을 수 있습니다.
아니 사실 대부분 수학 개념은 '왜'에 대한 답이 있습니다.
그렇지만 이런 개념적인 내용은 결코 설명으로 전달되지 않는다는 것이 문제입니다.
개념은 전달될수 있는 것이 아니라, 구성되어지는 것이기 떄문입니다.
따라서 어떻게 구성시켜야 하는가? 이게 참 중요합니다.
구성의 주체는 학생이기 때문에, 학생이 무엇을 해야 스스로 구성하게 되는가?로 질문이 바뀌는 것이고,
그러한 경험을 구현할 방법을 찾아야 하는것입니다.
소인수분해에 대한 개념을 제대로 구성하기 위해서는 ‘소수’에 대한 이해가 중요합니다. 단순히 소수가 ‘약수가 1과 자기 자신뿐인 수’라고 알고 있는 것을 넘어 왜 이런 숫자가 필요해졌는지, 소수의 성질이 소인수분해와는 어떤 관련이 있고, 약수와 배수를 찾는 과정에서 어떤 도움이 되는지에 대한 고민의 과정에서 소수가 이해되어야 합니다.
그래서 먼저 약수를 구하는 활동에서 소수가 특별한 존재임을 인식시키고자 합니다.
소수와 합성수가 섞인 카드 8장의 카드를 준비합니다. 그리고 자녀와 각각 4장씩 나누어 갖습니다. 임의로 나누면 됩니다.
눈치가 빠른 분은 예상하셨겠지만 6이 포함되어 있습니다.
이 부분이 아이와 토론하며 소수와 소인수분해에 대해 구성할 수 있게 만드는 핵심 장치입니다.
이제 각자 4장의 카드를 서로 곱합니다.
예를들어 내가 뽑은 카드가 2, 2, 7, 11 이라면 다 곱한 308의 약수를 함께 찾아보는 것이죠.
약수를 어떻게 찾으면될까요? 여러분들 눈 앞에 카드가 있습니다.
카드를 뽑으면?! 바로 그 카드는 약수가 됩니다. 1장을 뽑을수도, 2장을 뽑을 수도 있겠죠. 4장을 다뽑아 곱하면 자기 자신인 약수가 될 것이고요.
이처럼 차례로 뽑아가며 약수를 표로 정리해봅니다.
부모님이 아이와 함께 각각 작성했다면
이제 이야기 나눠볼 차례입니다.
모든 약수를 정말 다 찾은 것이 맞을까? 라는 질문을 던지는 것이죠.
우선 쉽게 1이 빠졌다는 것을 확인할 수 있습니다.
이러한 의심을 바탕으로 '6'카드를 들고 있는 사람의 약수를 자세히 살펴봅니다.
6카드가 있는 경우 카드를 뽑는 행위가 약수를 구하는 행위와 일치되지 않는 문제가 발생하게 되죠!!
약수를 구하기 위한 카드더미를 만들대 6과 같은 카드는 있어서는 안되는 것입니다.
2,3,5,7,11 과 같은 카드가 필요하다는 것을 알게 하는 것이죠.
그리고 이러한 숫자들이 바로 소수라는 것을요.
우리는 수학 용어를 항상 먼저 정의하고 설명하는 일에 익숙합니다.
하지만 이제는 스스로 수학적 개념을 발견할 수 있는 기회를 제공하고, 스스로 구성해나가는 경험이 필요할 떄입니다.
교육이 바뀌어야 하는 것이죠.
쓰다 보니 글이 길어졌네요. 다음 편에 이어서 최대공약수, 최소공배수, 서로소에 대해서도 이야기 적어보도록 하겠습니다.
관심있는 분이 많이 계시면 쭈욱 연재해보도록 하겠습니다~
/Vollago
"그거 전에 내가 알려준 사이트인데?"
돌고 돌아서 다시 역으로 추천이 들어오네요... 이번 생기부 작성할때 많은 도움이 된 것 같습니다.
많은 교사분이 잘 활용했으면 좋겠습니다 ㅎㅎ
최근 많이 업데이트하면서 조금 더 쓰기 좋아졌을거라 생각됩니다~
ai가 발달하니 코딩하는데 시간이 대폭 줄어드네요~ ㅎㅎㅎ 아직도 수정할게 많이 쌓여있지만ㅠ
아무튼 도움되셨다니 저도 기분이 좋습니다!! 애용해주세요~
저도 작게나마 아내 동료교사들한테 간단한 솔루션? 을 제공하고 있어서… 이런 저런 좋은것들 추천해드리곤 합니다 ^^
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왜 소인수 분해를 하는가를 이해 못했어요 ㅠㅠ
소수로 분해하게 되면 큰 수의 약수도 쉽게 찾을 수가 있게 되거든요. 위 예를 들면 카드를 뽑는 경우와 동일하니까요.
만약 소인수분해하지 않고 10010 과 같은 수의 약수를 모두 구하라고 하면,
1부터 차례대로 나눠봐야하는 거죠.
그러나 소인수분해가 된다면 카드를 뽑는 경우와 약수를 구하는 경우가 동일해지며 간단해지죠.
약수구할때 숫자가 커지면 커질 수록 더 효과가 커집니다.
따라서 아이들에게도 지금 교과서 처럼 작은 수의 약수를 구해보게 하거나 소인수분해하는 걸 넘어 소인수분해하지 않으면 도무지 약수를 구할 수 없는 그런 큰 수를 만나게 하는게 의미있을거라고 생각해요~
저도 궁금해서 구글링 해보니 '현대에서 암호화를 위한 용도로 소인수분해가 쓰입니다.' 라고 하네요.
[출처] 소인수분해는 왜 하는 것 일까? -소인수분해의 목적의 이해|작성자 사마한
https://blog.naver.com/junhan1319/222213967108
하신 말씀이 맞습니다. 인수를 찾아야 하는데, 그 인수가 소수로 표기된다는 사실을 최근에 깨달았습니다.
좋은 강의 기대 합니다.
수학 전공은 아니지만 제가 이해하는 선에서 답변해 보겠습니다.
수의 개념은
자연수
정수 = 자연수, 0, 음의 자연수
유리수 = 분모와 분자가 모두 정수
(과외할 때 학생들에게 유리수는 정수분수야 라고 가르쳤습니다)
무리수 = 분수로 만들지 못하는 수
우리가 실생활에서 만나는 수는 여기까지로 실수 라고 부르고 정수분수로 쓸 수 있는 경우와 없는 경우로 나뉩니다.
이하 허수 와 복소수는 생략합니다.
유리수 (정수분수) 는 정수 계산으로 환원이 가능해서 계산이 쉽습니다.
계산은 가감승제 더하고 빼고 곱하고 나누고 인데, 가감 (더하기 빼기) 은 분모가 같아야만 할 수 있습니다.
서로 분모가 다른 두 수를 더하고 빼려면 분모를 일치시킨 뒤 분자들을 더하고 뺍니다. (의외로 실생활에서 많이 씁니다. 사과 한 알을 반 알과 4분의 1 토막 2개로 나누었는데 6형제끼리 나누는 방법 - 아버지가 3필지 토지중 한필지를 2분의 1 지분, 2필지를 4분의 1지분으로 소유하고 있는데 6형제가 상속할 때 공평하게 지분을 나누는 계산 등)
분수를 계산할 때 공통 분모를 구하는 방법이 최대공약수 이고 (통분이라고 하죠) 통분할 때 각각의 분자들에게 곱하는 숫자가 최소 공배수예요.
질문에 대한 한 줄 요약입니다.
소인수분해는 최대공약수, 최소공배수를 구하는 방법이고 왜 하냐면 분수정수 더하고 뺄 때 필요해서 입니다. (= 계산이 엄청 빨라집니다)
소인수분해 다음은 대인수인가요..?
이상 수포자였습니다 ㅠ
분한게 끝났으니 이제 분하지 않을겁니다.
'바껴야'가 눈에 걸립니다.
교육적인 글이니만큼 맞춤법 지적질, 양해 부탁드립니다ㅠㅠ
이렇게 자주 의식해야 실수가 줄어들겠죠. 감사합니다.
자연의 이치와 대화한다는 느낌을 언제 어떻게 받을 수 있느냐가 무척 중요합니다. 인수분해와 같은 부분은 한글의 가나다 처럼 대화를 하기 위한 기초로 인식되어야 하는 과정임에도 기술적인 부분에 상당히 치우처져 있습니다. 많은 논의 끝에 그것이 효율적이라고 결론지어진 상태긴 합니다만, 그것으로 인해 수학교사들의 훌륭한 실력도, 학생들의 무한한 잠재력도 교실 안에서 빛을 잃지 않나 싶은 생각은 여전하네요.
그리고 그게 어느정도 가능하다고 생각합니다.
인수분해는 3학년 부분이라^^;;; 언제쯤 그 글을 쓰게 될지 모르겠지만 ㅎㅎㅎ 계속 기대해주세요 ㅎㅎㅎㅎ
그런데 요즘은 매우 압축된 내용을 오로지 형식적 논리적으로 완벽한 형태로만 제공되어 재미가 없죠.
측량 = 유리수(분수) 계산 (최대공약수, 최소공배수 계산하기)
이자계산 = 지수와 로그 (로그 계산하면 복리계산은 쉬워요)
로그계산의 제일 큰 장점은 큰 수 계산(수천억 수조 아보가드로 수 등) 결과를 암산만으로도 거의 정확하게 추정할 수 있다는데 있습니다. (교수님이 컴퓨터가 며칠 걸리는 계산을 암산으로 대략 어디에서 어디 사이의 값이 나올 것이다 여기서 벗어나면 프로그램 잘못 짠거니까 보고하지 말고 수정해라 라고 하실 때 정말 놀랐던 기억이..)
전기 자기 = 전기장은 자기장을 자기장은 전기장을 각각 유도하기 때문에 서로가 맞물려서 무한대로 회전하는 성질을 갖습니다. 그런데 전기와 자기는 원자의 성질에서 나오는 거라서 우리의 모든 생활에서 적용됩니다.
(복소수간의 곱하기 나누기는 회전 계산의 성격을 가지므로 우리의 자연현상은 복소수 연산으로 전환 가능합니다.)
아이 가르치는데 많이 도움 되겠네요. 기대됩니다.
제가 지금 글을 쓰는 목적도 가정에서 부모님이 자녀들과 이렇게 대화를 나누어 보면 좋겠다 싶어 제작하고 있습니다.
책도 곧 출판이라, 관심있으시면 나중에 학습지 파트를 구입해서 보셔도 좋을것 같습니다.
덧, 마침 앞의차 번호가 8073 재미있는 숫자였네요ㅎ
중 1수준에서는 소인수분해를 하면 약수를 빠짐없이 구할 수 있겠구나! 그래서 소수가 필요하겠구나! 정도의 필요성을 느끼게 만들려고합니다.
소인수분해를 왜하는가는.. 음 이게 현대대수에서 배우는 ufd(unique factorization domain) 얘기를 하지 않고 말을 할 수 있나 싶어요. 어떤 수집합에 연산을 정의하고 ufd가 되면 그 이후에 따르는 정리들이 많으니까, 그걸 써먹기 위해서 소인수분해를 해야한다고 말을 해야하지 않나 싶은데.. 이걸 어떻게 쉽게 설명하죠? ^^
제가 예전에 쓴 글에 수학 얘기하다가 MECE로 빠진게 있는데, 여기서 ME가 서로 소랑 관련 있는 말이니까, 수학에서 소인수 분해하고 서로소인걸 찾으면 이러저러한 것을 할 수 있으므로, 그거랑 엮어서 우리가 무언가 관찰하고 정리할 때도 서로 소가 되게 정리한다고 말을 하면... 음 역시나 어렵네요. 수학을 떠난지 오래되어 정말 어렵습니다. 화이팅입니다!
이를 중학생 수준에서 적당히 변환하는게 교사의 역할일테지요.
그래서 사실 카드로 약수를 구하는 과정에서 1의 존재에 대해 묻는 과정이 있습니다.
카드에 1이 있으면 어떨까? 물어보는 거죠.
자연스럽게 학생들은 UFD에 대한 생각들을 갖게 되죠. 물론 초등화된 생각이겠지만요.
중학생 수준에서 배움의 의미를 어떻게 하면 파악할 수 있을지... 이런 고민들을 계속 하고 있고,
어느 정도 중학교 교육과정 전체에서는 생각이 정리되어,
관련하여 책도 곧 출간되기도 합니다.
정리된 내용들을 알리고 수학에 대한 일반적인 인식이 조금이라도 개선되면 좋겠다는 생각이 듭니다.
관심가져주셔서 감사합니다.
수학을 왜 배우는가 에 대한 글이 궁금합니다^^ 읽어볼 수 있는 방법이 있을까요?ㅎㅎ
https://www.clien.net/service/board/lecture/18598701CLIEN
https://www.clien.net/service/board/lecture/18606985CLIEN
https://www.clien.net/service/board/lecture/18634959CLIEN
쓰다보니 아는게 동이나서 3에서 멈췄네요. ^^
제 큰 아들이 이번에 중학교에 입학해서 겨울방학 동안 초6 수학 전체를 함께 정리하고, 지금 중학교 수학을 개념확인 정도로 공부하고 있습니다.
학원에 보내지 않고 집에서 하다보니, 그냥 내버려둬서는 발전이 더딘 것 같아..제가 공부하고 아들한테 가르쳐 주고 있습니다. ㅎㅎ 소인수분해도 얼마전에 공부한게 기억납니다. ㅎㅎㅎ
아들 덕분에 수학을 공부해보니 학창시절엔 느끼지 못 했던 ‘재미’와 ‘즐거움’이 있더라고요.
앞으로도 시리즈 연재해 주세요. 아들과 함께 읽으며 공부해보겠습니다!
사자성어 같은 저 용어들이 참 맘에 안든다는 겁니다.
저 용어들 좀 쉽게 바꾸면 수학이 참 쉬울 텐데요.
법률용어를 접할 때도 이런 문제를 느끼고 있습니다.
유리수 무리수 라는 한자어가 모든 문제의 시작점이죠.
세상의 거의 모든 수가 무리수인데, 정수분수(유리수)만 정상적인 수고 나머지는 비이성적인 수라고 이름을 붙이고서 수학을 가르치니 재미가 없죠.
허수란 개념도 마찬가지로 실제하는 수에 허수라고 이름을 붙이니 아이들이 이해를 못하지요.
과외만 할 때 유리수가 아니라 정수분수고, 무리수가 아니라 정수분수가 안되는 숫자들 이렇게 가르쳤었죠.
허수가 아니라 빙빙 도는 수 이렇게도 했었는데 그건 고등학생들에게는 어렵더군요.
able to be expressed as a ratio (of integers)라서 rational이므로 사실 유비수나 가비수 같은 단어가 되었어야 하지 않나 싶습니다.
기대가 됩니다
어제 밤 10살 딸내미가 최대공약수/최소공배수 풀긴하는데 '왜'하는지는 모르고 풀더라구요.
연산은 하는데 이걸 이해못하니 문장제에서 해매고..
열독하겠습니다.
각 수준에 맞추어 경험을 재구성하는게 참 어려운일이긴 해서요.
출판사 수학사랑에서 수학하는 즐거움 으로 제작될 예정입니다. 3월 전에 나오는게 목표긴한데, 조금 늦어지고 있네요 ㅠ
전 초중고 교육에서 한발 더 나아갔으면 싶습니다. 요즘 애들은 이게 실생활에서 어떻게 쓰이는 개념인지 이해 안되면 반감부터 생기더라구요!
소인수분해는 실생활에서 아래와 같은 기술에 쓰라고 수업시간에 이야기 해 주면 좋겠어요!
- "암호화 기술"
- "컴퓨터 과학 및 알고리즘" 에서 난수생성, 에러검출 및 수정, 보안알고리즘 설계
- "데이터 압축 및 신호처리" 등등
암호화 기술도 생각보다 복잡해서 소인수분해로 학생들에게 의미있게 전달한다는게 참 어렵습니다.
저는 그래서 학생들 수준과 상황에서 의미를 만들어보려고 노력중입니다.
그리고 저렇게 실제 기술과 연결된 설명들은 그래도 비교적 존재하고 있기도 하고요.
왜 이렇게 푸는지에 대한 이해가 필요한데 저도 주입식교육세대라 쉽게 설명해주는게 힘드네요. 학교다닐 때 수학은 자신이 있었는데도 말이죠.
빠르게 많은 문제의 답을 맞추는데 치중해서
학생들 중 상당수가 문장제문제도 숫자만 보고 공식처럼 푸는 경우를 많이 보입니다.
수학은 개념적으로 배울 필요가 있는데 말이죠.
- "이런것들을 나눠야겠다"라고 생각하신 그 순간 밝게 빛나셨을겁니다~
예전에 대학생때 중학생 과외를 봐준 적이 있었는데, 그때, 분수, 나누기만 나오면 쩔쩔 매는 아이들을 꽤 봤었습니다. 특히 숫자만 나오면 그걸 일일이 다 곱하고 그러다 숫자는 커지고 그리고 그걸 나중에는 쩔쩔 매면서 일일이 또 나누기를 하고 있더군요. 인수분해의 개념만 제대로 기억했으면 일일이 다 안곱하고 그냥 인수분해된 상태로 두었다가 나중에 약분만 하면 암산으로도 끝날 계산이었는데 말이죠.
그렇기 때문에 소인수분해를 어디에 쓰나 하는 질문에 대해서 저는 글쓴이 분의 접근법이 더 좋다고 봅니다. 이런 기법들이 엄청 어려운 곳에 쓰인다는 이야기는 그냥 이거 어려운 이야기야 라고 말하는 거와 다를바 없다고 생각합니다. 그거 보다는 이걸 사용하면 이런 계산을 더 쉽게 할수 있어 알려주는게 더 좋지 않나 생각되네요.
아이가 곧 초등학생이 되는데 저도 같이 수학 공부를 해봐야겠습니다.
공부 하다보면 이 글을 이해할 날이 오겠죠.
1. 한자의 이해
우리나라 수학용어는 전부 한자로 되어 있습니다. 한자를 모르면 수학을 이해하는데 어려움을 겪죠.
ex) 함수, 유리수, 무리수, 방정식, 항등식 등등
2. 수(數) 개념의 확장
: 대부분 숫자라는 개념을 1,2,3,4,5와 같은 아라비안 숫자로만 한정지어서 생각하는데, 이럴 경우 x, y와 같은 미지수가 등장했을 때 멘붕에 빠지기 쉽죠. 사칙연산이 적용되는 모든 문자를 숫자로 인식하는 데서 진정한 수학의 이해가 시작된다고 생각합니다. 되게 쉬운 개념이긴 한데, 이 사고만 정착되면 고등학교 수준까지는 엄청 이해하기 쉬워집니다.