전 취미로 수학과 물리를 공부하는걸 즐기는 비전공 일반인입니다만..

리만가설은 여러 영화의 소재가 될 정도로 유명하여 왠만하면 한번쯤은 들어보셨겠지만

막상 다른 난제들중에서도 유난히 문제 자체가 뭔지 이해가 쉽지 않기도 한것 같습니다.

 

우선 리만 가설이란..

<<리만 제타 함수 ζ(s)=0 을 만족시키는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 1/2이다.>>

아주 간단하죠? ㅎㅎㅎ

이제까지  제가 알던 수준은,  

리만 가설이 소수와 관련이 있다는데,   만약 증명이 된다면 소수의 규칙을 알게되고 증명되면 소수를 사용한 RSA 같은 암호화가 무너질 수 있다.. 그리고 리만가설을 참으로 가정하고 세운 여러 보조 정리와 일부 난제들도 해결되고  연구재단으로부터 100만달러의 상금도 받고 필즈상도 따논 당상이다..이정도였습니다.

그리고 몇년전 이리저리 검색해보고 일반인용 입문영상을  본 결과

리만 제타함수는 원래 오일러곱으로 알려져 있던거다. 여기까진 기발하고 신기한데 오일러짱. 근데 별거 없네? ㄹㅇㅋㅋ

그리고 모든 영상에서 한번씩 보여주는 요상하게 보이는 제타함수의 복소평면 그림.. 무슨 의민지 모르겠지만 실수 1/2 근처에 쭉 일렬로 모여있는 그림 한번씩 보셨죠? 

이정도까지 보면 그래서 이게 소수랑 무슨 상관인데?? 하고 그냥 포기해 버리게 됩니다.

근데 알고보니 그 제타함수는 오일로곱의 형태에서 s>1인 정의역을 벗어나 

리만의 천재적인 해석적 확장을 통해 원함수에선 볼 수 없는 영점 같은 특이한 점을 만들게 되고, 그 영점을 만드는 해의 실수부가 1/2로 보인다는 겁니다. 

그 과정에서 소수의 곱의 형태로 이루어진 제타함수를 로그미분을 하여 선형화하고, 

이후 멜린변환, 복소 적분 등 어찌저찌해서 결국 우리가 알고 싶은 소수계량함수와 아주 밀접한 관련이 있는

명시적 공식이 유도됩니다. 

여기서 바로 리만가설에서 얘기하는 자명하지 않은 영점들을 포함한 진동하는 오차항이 나타나게 되고, 

결국 영점들을 무수히 알게 되고 그 오차 스펙트럼들을 합하여 여기다가 소수정리에 의해 지수로그함수로 표현되는 추세선에다가

무수히 더하면 미세한 오차가 보정되면서 우리가 실제로 소수를 카운팅할 수 있는(엄밀히 말하면 소수 제곱의 가중치를 포함한..) 계단식 소수 갯수(추정) 함수가 만들어지게 되는것이라고 할 수 있습니다.

제가 자세히 설명드릴 수준이 아니라 죄송합니다만, 간단히 말하면 제타함수는 그냥 소수의 곱을 항으로 하는 식인데,
이걸 여러 수학적 가공을 하면 아주 희한하게 진짜 소수의 갯수와 관련이 있는 식으로 변환이 된다는거고, 그 변환한 식 안에 바로 그 제타함수의 영점 정보가 포함된다는겁니다. 

왜 하필 영점이냐... 하면 소수의 곱으로 포현된 제타함수를  로그미분을 하면서 합으로 분해도 하면서 로그 미분 자체가 영점 같은 극점을 가지게 되어 그 주변에서 많은 정보를 지니게 되게 때문이라고 대략 할 수 있을것 같습니다. 

참 아주 기가막힌 1석2조라고 할 수 있습니다.

여기까지 알고 보면 사실 이제까지 흔히 얘기하는 리만가설이 증명되면 암호시스템이 무너진다는건 전혀 관련없다는 느낌을 받게 됩니다. 이미 영점은 10억개 이상 알려져 있고, 리만 가설이 참이던 거짓이던 증명되더라도, 그냥 오차항의 이론적 한계가 O(n^(1/2)(ln n)^2) 정도로 제한된다는것 뿐이지 실제 소수를 바로 계산하게 하는 기적의 계산기도, 소인수분해를 더 빠르게 해주는 암호화 키 크랙도 아니라는 겁니다. 

gpt의 도움으로 그나마 이정도라도 이해할 수 있으니 너무 재밌더라고요. 대충 왜 이렇게 유도했는지, 어떤 수학적 기법으로 이렇게 했구나.. 정도는 알게된 것 같습니다. 

실제로는 복소해석학, 정수론 등 너무나 많은 고등수학의 깊이 있는 지식이 필요하기에 문제 해결은 커녕 제대로된 이해조차 쉽지 않긴 합니다.

그럼 제가 이해하는데 큰 도움이 된 유툽 영상 소개해드립니다.

이제껏 수년전부터 3B1B 를 포함하여 수많은 설명을 봤지만 대부분 비슷한 얘기는 하는데 

이 영상만큼 친절하게 처음부터 끝까지 설명해 주는 걸 보지 못했어요. 

한번 쭉 그냥 따라가 보시면 수박 겉핥기라도 상당히 이전엔 몰랐던 내용을 알게 되실 것 같습니다^^