@Helen&Adam님 양자역학, 라그랑쥬역학, 해밀턴역학을 대학에서 배울 때, 머리를 세게 두드리는 충격을 받은 기억이 지금도 생생합니다.

"우주를 바라보고 해석하는 방법이 이렇게 다양하구나! 수학이란게 단순한 계산도구가 아니었구나! 물리학은 철학이었구나!"

사실 양자역학의 숨은 의미를 나의 것으로 하기 위해서는, 해밀턴역학을 알아야 한다고 생각합니다. 뉴튼역학에서 출발하여 양자역학을 배우는 건, 그냥 계산 도구로서 배울 뿐.
그 중간다리에서 해밀턴역학을 알고, 비가환대수학을 이해해야 양자역학을 곁다리나마 자신의 것으로 이해하게 된다고 생각합니다.

일반인들이 양자역학의 진정한 의미를 모르는건 해밀턴역학과 비가환대수학을 알 수가 없기에 그런 것 같아요.

@Triend님
역시 수학의 벽이... 말씀 세겨 듣겠습니다

@Triend님 그렇죠, 철학이죠. 당시 물리학 교수진에 노벨수상자 두 분이나 계셨었는데 공부하다보니 너무 어렵고 주위에 괴물같이 똑똑한 친구들을 보니 내가 길을 잘못들었구나 싶어 과를 바꿨는데 그게 수학이었죠. 결국 수학으로 학교를 마쳤는데 거기는 물리때보다 더 괴물같은 친구들이 많았었어요 ㅋㅋㅋ

@Triend님 잼미니에게 댓글을 긁어서 해석해달라 했습니다. 덕분에 혀만 살짝 대보았네요 ㅎㅎㅎ
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1. 뉴턴 역학에서 해밀턴 역학으로의 시선 전환
​우리가 일상에서 경험하고 학창 시절에 배우는 물리학은 대부분 **'뉴턴 역학'**입니다. 사과가 떨어지거나 자동차가 달릴 때, **"어떤 힘이 가해져서 어떻게 움직이는가"**를 실시간으로 추적하는 방식입니다. 매우 직관적이지만, 물체가 복잡해지면 계산이 지나치게 어려워진다는 단점이 있습니다.
​반면 라그랑주 역학과 해밀턴 역학은 똑같은 자연 현상을 '힘'이 아니라 **'에너지'**의 관점으로 바라봅니다.
​라그랑주 역학: "자연은 언제나 에너지를 가장 효율적으로 쓰는 경로를 선택한다"는 최소 행동 원리에서 출발합니다. 힘의 방향을 일일이 계산하는 대신, 전체적인 경로의 효율성을 따집니다.
​해밀턴 역학: 여기서 한 걸음 더 나아가, 물체의 상태를 **'위치'**와 **'운동량(물체의 질량×속도)'**이라는 두 가지 핵심 정보의 쌍으로 묶어 우주의 법칙을 수학적으로 완전히 새롭게 정리했습니다.
​뉴턴 역학이 "지금 당장 어디로 얼마만큼의 힘이 밀고 있는가?"를 묻는다면, 해밀턴 역학은 "이 공간 전체에서 에너지가 위치와 운동량에 따라 어떻게 분포해 있는가?"라는 한 차원 높은 시야로 우주를 해석합니다.

​2. 비가환 대수학: 순서가 바뀌면 결과가 달라지는 세상
​보통의 수학에서는 2*3이나 3*2나 결과가 6으로 같습니다. 이처럼 앞뒤 순서를 바꿔도 결과가 같은 성질을 **'가환(Commutative)'**이라고 합니다. 우리가 사는 거시 세계의 일반적인 상식입니다.
​반면 **'비가환(Non-commutative)'**은 순서가 바뀌면 결과도 달라지는 수학적 성질을 말합니다.
​일상적인 예시: '양말을 신고 신발을 신는 행위'와 '신발을 신고 양말을 신는 행위'는 순서가 바뀌면 결과가 완전히 달라집니다.
​해밀턴 역학은 원래 거시 세계를 다루기 때문에 '순서가 상관없는(가환)' 수학을 썼습니다. 하지만 우주를 '위치'와 '운동량'이라는 정돈된 구조로 나누어 표현하는 틀을 완벽하게 짜놓았습니다.
​그런데 이 틀을 그대로 들고 아주 작은 미시 세계(양자역학)로 들어갔더니, 놀랍게도 "위치를 먼저 측정하고 운동량을 측정하는 것"과 "운동량을 먼저 측정하고 위치를 측정하는 것"의 결과가 달라지는 '비가환' 현상이 발생한 것입니다. 이것이 그 유명한 하이젠베르크의 '불확정성 원리'의 수학적 본질입니다.

​3. 왜 해밀턴 역학이 양자역학의 진정한 다리인가?
​가져오신 글의 핵심은 바로 이 연결고리에 있습니다.
​뉴턴 역학의 방식(힘과 가속도)만 알고 있는 상태에서 곧바로 양자역학으로 건너뛰면, 미시 세계에서 벌어지는 기묘한 현상들이 그저 '현실과 동떨어진 수식 계산용 도구'로만 느껴지기 쉽습니다.
​하지만 **해밀턴 역학이 짜놓은 프레임(위치와 운동량의 관계)**을 먼저 이해하고, 여기에 **비가환 대수학(순서가 중요해지는 수학)**이라는 필터를 끼우면, 양자역학은 완전히 새로운 외계의 학문이 아니라 **"기존 클래식 물리학의 구조가 미시 세계의 특성에 맞춰 자연스럽게 확장된 형태"**임을 깨닫게 됩니다.
​결국 "물리학은 철학이었다"라는 감탄은, 단순히 공식을 풀어 답을 내는 테크닉을 넘어, 우주를 모형화하고 해석하는 거대한 논리적 흐름(뉴턴 → 해밀턴 → 양자)의 아름다움을 발견했을 때 나오는 고백입니다.

@juxtizm님 제미나이 설명을 진짜 잘하네요 ㅎㅎ

불확정성원리를 인간의 언어로 쓰면 너무 불편합니다. "위치와 운동량은 서로 정확하게 측정할 수 없다."
인간의 언어로는 말이 안되죠. 너무 불편합니다. 측정이라는게 뭔지도 모르겠고. 그러다 보니 오해만 쌓이죠.

근데 수학적으로 불확정성 원리는 "위치와 운동량은 서로 비가환이다"라는 짧은 말로 그냥 끝납니다. 비가환대수학이 훈련된 사람에게는 그냥 바로 쉽게 이해되는 문장입니다.

다만 수학자들에게도 고민은 생기죠. "아니 위치와 운동량이 서로 비가환이면, 우주라는건 그냥 수학 그 자체라는 말이잖아? 수학은 그냥 관념 속의 추상적인 학문 아니었어?"

그래서 현대물리학자와 수학자들은 "우주 자체가 수학이다"라고 생각하는 사람이 다수이게 된거죠.

제가 고등학교때만 해도 "수학은 물리학의 도구다"라고 배웠는데, 이제는 그런건 없습니다. 수학과 물리학과 우주는 그냥 동일합니다.

@Triend님 하나만 여쭤볼 수 있을까요?
측정하는 행위 자체가 포톤이 양자를 떄리기 때문에 양자의 위치에 변화를 준다고 이해하긴 했는데,
측정하지 않은 양자의 위치가 왜 확률로로써 존재하는지가.... 이해가 잘 안됩니다 ㅠㅠ
제 얕은 상상력으로는 그 얘기가 모르겠다로 들려요,,,

순서가 중요하다는 얘기는 잼미니가 하는 신발을 신고 양말을 신으면 되냐는 말을 듣고 겨우 그런가? 싶었습니다 ㅋㅋㅋㅋ

@juxtizm님

(1) 측정하지 않은 양자의 위치가 왜 확률로 존재하는지?

- 가장 근본적인 질문입니다 "Why"에 해당하죠. 양자역학은 이에 대해서 답을 주지 않습니다. 양자역학의 "수학"도 마찬가지입니다. 수학은 양자의 위치가 "파동함수이기 때문이다."라고 답을 하는데, 왜 하필이면 파동함수냐?라고 물어보면 역시 답을 주지 못합니다. 이건 결국 해석의 문제이고, 코펜하겐해석 / 다세계해석 / 숨은변수이론 들이 있습니다.

- 그리고, 이것이 "우주 자체가 곧 수학이다"라는 수학적 플라톤주의의 핵심 논거입니다. 이 입장에서는 우주 자체가 그냥 수학이기 때문이라는 답을 합니다. 수학의 파동함수로 애초부터 정의되었기 때문에, 이 우주가 그냥 거기에 따를 뿐이라는 논리입니다. 물론 디테일하게는 더 자세하게 설명해야 하지만, 여기까지만 말씀드릴께요.

(2) 순서가 중요하다는 이야기

- 비가환대수학에서 "순서"는 정수환(Ring of Integer) 개념을 일반 "고차원" 대수로 확장한 대수적 구조입니다. 순서의 수학적 의미가 바로 이러한 구조로부터 연유합니다. 수론에서 정수들이 복잡하게 얽혀 있는 래티스 격자 구조에 가깝죠. 이 개념은 결국 "비가환기하학"과 "군론"으로 차례로 이어지고, 그 마지막 끝에는 고차원 기하학이 남습니다. 피타고라스가 우주는 숫자로 이루어져 있다(대수학과 기하학)고 주장한 것이, 현대수학에서는 이렇게 다시 불이 피워진 것입니다.

- 이러한 수학적 뿌리를 따라가면서, 천재 물리학자/수학자들이 24차원 리치군 이론을 가지고 끈이론을 만든겁니다. 홀로그래피 이론, 다세계이론, 끈이론, 브레인우주론 등등 현대의 기괴한 물리학적 이론들은 기원이 다 여기에서 유래합니다.

- 현대물리학자와 수학자들은 간접적으로는 피타고라스학파들입니다. 이 우주가 숫자로 이루어진 기하학적 구조체라고 생각하죠. 이들은 "광속과 플랑크상수는 정수 1이다"라고 정의합니다. 실제로 대부분의 현대물리학에서 광속과 플랑크상수는 정수 1입니다. 광속불변의 원칙????? 이것도 일반인들에게는 불편하죠. 그냥 원래 광속은 1인겁니다. 그냥 단위정수인겁니다. 다만, 인간들이 미터법에 끼워 맞추다 보니 그런 숫자가 나온 것일뿐.

@Triend님 오늘 말씀을 읽으면서.. '인지' 라는 단어에 대해 곱씹어 보았습니다.

1. 미시세계는 인지할 수 없다는것을 들어서 알고 있음에도 불구하고 납득하려면 인지해야 하는 것 아니냐고 고집부리고 있는 제 모습이 비추어 집니다. 과연 제 인식은 인지를 뛰어 넘을 수 있을까요. 아직 잘 모르겠습니다.

2.지식의 지평이 인지의 지평이구나. 역시 아는 만큼 보이는구나. 싶었습니다.

시간들여 글 적어 주셔서 고맙습니다. 적어주신 말씀은 잼미니와 또 한번 잼있게 이해해 보려고 노력해보겠습니다.

@Triend님 아래 잼미니 답변은 읽고 넘기려다가 이 글에 오시는 분들은 모두 보셨으면 해서 남깁니다.
AI 의 무서운점은 사용자를 투영한다는것 아닐까 싶어요. 많이 알수록 플러스가 아니라 멀티플로 배울 수 있는것 같습니다.
오늘 멀티플을 나누어 주셔서 대단히 고맙습니다.
(덧, 저는 시물레이션 우주론을 매우 좋아합니다.)
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상대방이 보낸 글은 물리학의 단계를 넘어 '수학과 철학'의 영역으로 들어가는 아주 깊이 있는 내용입니다. 앞서 우리가 나눈 전자의 움직임 이야기를 보더니, 이 현상의 가장 밑바닥에 있는 "우주의 비밀"을 꺼내놓은 셈입니다.
이 글의 핵심을 일반인의 눈높이에 맞춰 세 부분으로 나누어 쉽게 풀어드리겠습니다.

1. "왜 확률로 존재할까?"에 대한 과학의 항복
우리가 "왜 측정하기 전에는 확률로만 존재해?"라고 물으면, 현대 과학은 솔직하게 "모른다"고 답합니다.
과학의 한계: 양자역학의 수학 공식(파동함수)은 전자가 어디서 발견될지 그 '확률'을 기가 막히게 잘 맞춥니다. 하지만 "왜 하필 확률이라는 방식으로 우주가 작동하느냐?"라는 근본적인 이유(Why)는 설명하지 못합니다.
- 해석의 영역: 그래서 과학자들은 각자 철학적인 '해석'을 내놓습니다.
ㄴ 코펜하겐 해석: "원래 미시 세계는 확률적인 게 본성이고, 보면 굳어지는 거야."
ㄴ 다세계 해석: "확률의 가짓수만큼 우주가 매 순간 갈라지는 거야. (평행우주)"
ㄴ 숨은 변수 이론: "우리가 아직 모르는 초자연적인 비밀 규칙이 숨어있을 뿐이야."
- 수학적 플라톤주의: 이 글을 쓴 분은 우주가 그냥 '수학 코드 그 자체'라는 관점을 소개하고 있습니다. 영화 매트릭스처럼, 우주라는 게임이 애초에 '파동함수'라는 수학 공식으로 프로그래밍 되어 있기 때문에, 전자가 확률로 존재하는 이유 역시 "그냥 그렇게 코딩되어 있어서"라는 뜻입니다.

2. "순서가 중요하다"는 말의 거대한 확장
앞서 제가 '양말 신고 신발 신기'처럼 순서가 바뀌면 결과가 달라지는 수학을 '비가환 대수학'이라고 말씀드렸죠? 상대방은 이 개념이 어디까지 발전하는지를 설명하고 있습니다.
- 정수에서 고차원 기하학으로: 우리는 1, 2, 3 같은 정수를 단순히 숫자로 보지만, 수학자들은 이를 규칙적으로 배열된 격자 구조(Lattice) 같은 '도형(기하학)'으로 봅니다. 이 격자 구조를 엄청나게 복잡한 고차원(예: 24차원) 공간으로 확장하면, 순서를 바꾸는 행위가 그 고차원 공간을 회전시키고 변형하는 기하학적 움직임이 됩니다.
- 현대 물리학의 기괴한 이론들: "우주는 숫자의 형태(기하학)로 이루어져 있다"고 믿었던 고대 피타고라스학파처럼, 현대 물리학자들도 이 복잡한 고차원 수학 구조를 파고들었습니다. 그 결과물이 바로 끈이론, 다세계이론, 홀로그래피 우주론입니다. 즉, 우리가 사는 우주가 사실은 거대한 고차원 기하학 구조체의 표면에 투영된 홀로그램일지도 모른다는 기괴한 상상력들이 모두 이 '순서가 중요한 수학'에서 잉태된 것입니다.

3. 광속이 초속 30만km가 아니라 그냥 '1'인 이유
일반인에게 가장 신선한 충격을 주는 부분일 것입니다. 우리는 빛의 속도가 왜 하필 초속 299,792,458m인지 궁금해합니다.
"그 숫자는 인간이 만든 미터(m)와 초(sec)라는 단위에 짜 맞추다 보니 나온 지저분한 숫자일 뿐이다."
- 인간의 단위 vs 우주의 단위: '1미터'는 지구 둘레를 기준으로 인간이 정한 길이고, '1초'는 하루를 쪼개서 만든 시간입니다. 우주 입장에서는 아무 의미 없는 기준입니다.
- 광속 = 1: 우주에서 가장 절대적이고 빠른 기준은 빛의 속도입니다. 그래서 현대 물리학자들은 복잡한 계산을 할 때 빛의 속도(c)를 그냥 기준점인 숫자 '1'로 두고 시작합니다. 모든 속도의 절대 기준이 되는 단 하나의 단위라는 뜻입니다. 플랑크 상수(미시 세계의 최소 단위) 역시 그냥 '1'로 둡니다.

결국 이 글을 쓰신 분은 질문자님에게 이런 메시지를 던지고 싶었던 것입니다.
"우리가 보는 현실(전자의 순간이동이나 확률 같은 기묘한 현상)은 이상해 보이지만, 그 밑바닥에 흐르는 **'고차원 수학의 아름다운 구조'**를 이해하고 나면, 우주가 왜 이렇게 설계되었는지 비로소 고개를 끄덕이게 된다."

확실히 이분은 물리학을 공식 계산 도구가 아니라, 우주의 본질을 탐구하는 철학으로 바라보고 계시네요. 전자가 확률로 존재한다는 기묘한 현상보다, 우주 자체가 수학 공식으로 짜인 프로그램일지도 모른다는 이 철학적인 관점은 어떻게 다가오시나요?

@juxtizm님 사람의 습관이 참 무섭습니다.
눈에 보이지 않으면, 인식한 것이 아니라고 뇌에서는 강력하게 신호를 보내죠.

하지만, 수학에 익숙해지면, 뇌는 더 이상 그런 신호를 보내지 않습니다.
수학숙련자에게는 눈에 보이지 않아도 수학적으로 명확하면, 인식했다고 뇌가 신호를 보냅니다.

저는 그냥 습관으로 생각합니다.

@새생새사님
이게 설정 때문이지 모르겠는데 클량에서는 재생이 안되고
Youtube에서 보기로 넘어가야 하나봅니다

@올데포님
화면상 Youtube에서 보기를 클릭해야지만 나오나 봅니다