코딩/수학 쪽에 강하다고 써있길래요.

아래와 같이 물었습니다.

질문.) 

대략 5%의 유병률로 알려진 질병에 대한 진단 키트가 정확도 95%일때, 양성으로 판별되었다는데 실제로 감염되었을 확률은 어느정도 되지?

 

이 문제는 베이즈 정리(Bayes' theorem)를 사용하여 해결할 수 있습니다. 주어진 정보를 바탕으로 실제 감염되었을 확률을 계산해 보겠습니다.

용어 정의:

• 유병률 (Prevalence): 질병을 가지고 있을 사전 확률. P(감염)=0.05 (5%)
• 민감도 (Sensitivity): 질병이 있는 사람이 검사 결과 양성으로 나올 확률. P(양성∣감염)=0.95 (정확도 95%)
• 특이도 (Specificity): 질병이 없는 사람이 검사 결과 음성으로 나올 확률. P(음성∣비감염)=0.95 (정확도 95%)

여기서 "정확도 95%"는 일반적으로 민감도와 특이도 모두 95%임을 의미한다고 가정합니다.

우리가 구하고자 하는 것: 양성 판정을 받았을 때 실제로 감염되었을 확률, 즉 P(감염∣양성) 입니다.

계산 과정:

1. 질병에 걸리지 않았을 확률:

   P(비감염)=1−P(감염)=1−0.05=0.95

2. 위양성률 (False Positive Rate): 질병이 없는 사람이 양성으로 잘못 판정될 확률.

   P(양성∣비감염)=1−P(음성∣비감염)=1−특이도=1−0.95=0.05

3. 양성으로 판정될 확률 P(양성) 계산:

   양성 판정은 두 가지 경우에 발생합니다:

   • 실제로 감염되었고 양성 판정을 받은 경우 (진양성, True Positive): P(양성 이고 감염)=P(양성∣감염)×P(감염)=0.95×0.05=0.0475
   • 실제로 감염되지 않았지만 양성 판정을 받은 경우 (위양성, False Positive): P(양성 이고 비감염)=P(양성∣비감염)×P(비감염)=0.05×0.95=0.0475
   • 따라서 전체 양성으로 판정될 확률은 이 두 확률의 합입니다:
   • 
     
   • 
     
   • 
     
   • 
     
   • 
     
   • 
     
   • 
     
   
   

   P(양성)=P(양성 이고 감염)+P(양성 이고 비감염)=0.0475+0.0475=0.095

4. 베이즈 정리를 이용한 실제 감염 확률 계산:

   P(감염∣양성)=P(양성)P(양성∣감염)×P(감염)

   P(감염∣양성)=0.0950.95×0.05

   P(감염∣양성)=0.0950.0475

   P(감염∣양성)=0.5

결론:

진단 키트에서 양성으로 판별되었을 때, 실제로 해당 질병에 감염되었을 확률은 50% 입니다.

해석:

진단 키트의 정확도가 95%로 매우 높아 보이지만, 질병의 유병률이 5%로 낮기 때문에 양성 판정을 받아도 실제 감염 확률은 생각보다 낮게 나올 수 있습니다. 이는 위양성(False Positive)의 영향 때문입니다. 즉, 건강한 사람(95%의 인구) 중 5%가 위양성 판정을 받는 숫자와, 실제로 병에 걸린 사람(5%의 인구) 중 95%가 정확히 양성 판정을 받는 숫자가 같아지기 때문입니다.

이런 결과는 낮은 유병률을 가진 질병 검사에서 흔히 나타나는 현상이며, 이 때문에 확진을 위해서는 추가적인 검사나 정밀 검사가 필요한 경우가 많습니다.

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음...맞는 말인가요..ㅋㅋ