무리수(irrational number)를 눈으로 보는 방법:
- 무리수는 pi=3.141592.., root(2)=1.414213... 같이 솟수점 뒷자리가 무한나열 되는 수를 말합니다.
- 위 그림처럼 단위길이가 1인 정사각형 형태의 2차원 그물망이 있다고 합시다.
- 가장 밑의 중앙점이 원점인 (0,0)점이고 x축상의 노란구슬들은 각각 정수 1,2,3 ...을 나타냅니다.
y축상의 노란구슬들도 마찬가지로 정수들의 배열이 됩니다.
- 유리수는 정수(Integer)의 비를 갖는 분수이므로 유리수들은 노란구슬 들의 각 점에 해당하며 그림처럼 사방으로 뻗어나가게 됩니다. 1/2, 1/3, 2/3, 3/5, ... 모두 구슬 위치에 대응됩니다.
- 그리드의 단위길이가 1인걸 생각해보면 이해가 되실겁니다.
가령 2/3 라는 수는 x축으로 3가고 y축으로 2만큼 간 지점에 대응되는 숫자인거죠.
거기엔 (x=3, y=2)좌표에 대응되는 노란구슬이 있을테니 2/3이라는 유리수는 노란구슬에 대응되는 것입니다.
따라서 모든 유리수는 노란구슬을 피해서 위치할수가 없는 겁니다.
- 물론 유리수는 노란구슬 열처럼 무한대로 존재함을 알수있죠. 따라서 유리수의 갯수는 무한대 입니다.
- 저마다의 노란구슬열은 하나의 유리수 숫자를 의미합니다. 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, ... 처럼 분모 분자 구성만 다를 뿐 그 유리수(비율은) 는 같은거죠. 그게 일렬로 늘어서 있는 것입니다.
- 이 때 이 일렬로 늘어선 구슬열들 사이로 보이는 빈 터널들은 절대 유리수가 될수 없는 빈 터널, 즉 무리수들을 나타내고 있음을 알수 있습니다..(마치 양 옆으로 조명등이 주욱 켜진 빈 활주로 처럼 말이죠..)
- 왜냐하면 무리수는 정수의 비를 갖는 분수로 나타낼수 없기 때문에 절대 노란구슬에 대응될수 없기 때문인거죠.
- 그림에서 보면 무리수 터널 또한 비스듬한 방향으로 무한개가 존재함을 알수있습니다. 즉, 무한 방향 각도로 무리수 터널이 나타나는 것이죠.
- 저기 중에 한 터널은 3.141592 ... 를 갖는 원주율 터널 일테고, (0,0)점에서 볼때 특정한 각도를 가지게 되겠죠.
- 이렇게 유리수와 무리수는 2차원 무한공간에 시각화 해서 눈으로 볼수 있습니다.
참 쉽죠~?
- 무한히 나열되는 무리수 중 하나인 원주율 파이.
다큐 말인가요?
네 맞습니다
초끈이론 의 차원이야기 다큐였던걸로 기억납니다.
??
정수와 분수로 적는 것이 가능한 유리수, 그리고 그렇게 나타내기가 어려운 무리수를 합쳐 실수라고 한다. 바로 이 무리수에 소속된 유명인사가 바로 원주율, 파이(π)다. 무리수에서도 ‘초월수(Transcendental Number)’라는 친목 모임에 속한다.
https://www.clien.net/service/board/park/16420846CLIEN
유한하다는 얘기는 없는데요.
이미 슈퍼컴퓨터를 이용해서 60조 이하 자리까지 계산했습니다.
양자 컴퓨터라면 더 알아낼수 있겠죠
파이가 무리수였죠.. 슈퍼컴이 유하소수라고 밝혔습니다.
양자컴을 너무 믿지 마십쇼. 다 마케팅 성능일 뿐입니다~.
양자암호 해킹불가 라는 소리도 마케팅 용어일 뿐입니다.
https://m.dongascience.com/news.php?idx=48765
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98_%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%84%B1_%EC%A6%9D%EB%AA%85
파이가 무리수임은 수학적으로 증명이 끝난 문제로 알고 있습니다.
죄송합니다.
죄송합니다.
죄송합니다.
죄송합니다.
죄송합니다.
죄송합니다.
어떻게든 패턴을 보려는 인간 노력의 끝판왕을 본 느낌이었어요 ㄷㄷㄷ
마치 지문 같군요...
혹시 소수는 우주의 지문?
다른 우주엔 다른 지문이 있는걸까요?
손등이 뽀얘지나요?
??
반복 패턴이 없어야 무리수로 알고 있습니다^^
그래서 수정하였습니다.
수정했습니다.
...
무한대의 세게에선 "더 크다는 상식"이 안통할지도 모르죠.
팟캐스트 적콩무 ep18 칸토어 이야기에 자세히 나옵니다.
https://gluon.tistory.com/entry/%EC%B9%B8%ED%86%A0%EC%96%B4%EC%9D%98-%EB%8C%80%EA%B0%81%EB%85%BC%EB%B2%95-%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%99%80-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98-%EC%A4%91-%EC%96%B4%EB%8A%90-%EA%B2%83%EC%9D%B4-%EB%8D%94-%EB%A7%8E%EC%9D%84%EA%B9%8C
칸토어의 무한이론은 다좋은데 원이란 개념이 빠져있는게 문제라고 생각됩니다.
아르키메데스 나 갈릴레이의 무한론에는 원이 들어있죠.
셀수 있는 무한과
셀수 없는 무한은
어떤 차이 인건가요?
집합의 원소의 개소를 세려면 기준이 되는 집합을 잡고 그 집합과 일대일대응이 있을 때 원소의 개수가 같다고 하면 됩니다. 예를 들어 어떤 집합의 원소의 개수가 3인 경우를 {1,2,3}과 일대일대응이 있는 경우로 규정하면 되지요.
이런 개념을 비전문적인 용어로 집합의 크기, 전문용어로는 농도, cardinality라고 합니다.
무한집합의 경우 자연수의 집합과 실수의 집합이 그 기준이 됩니다. 물론 그 밖에도 다른 크기의 무한집합이 있지만요.
자연수의 집합은 모든 원소를 셀 수 있기 때문에 그 크기를 '셀 수 있는 무한'이라 하는데 실수의 경우 자연수와 일대일대응이 없다는 것을 칸토르가 대각선 논법을 이용하여 증명했습니다.
참고로 실수는 자연수의 멱집합(power set)과 같은 크기를 가집니다.
두서없이 적었는데 이해에 도움이 되셨길 바랍니다.
그럼 좋아요~
반복되는 ‘순환(하는 무한)소수’와 혼동할 수 있는 표현 같습니다.
0.333… 과 같은 순환소수는
1/3로 나타낼 수 있으니 유리수이고
중학교 수학 교과서에서는 무리수를
‘순환하지 않는 무한 소수’라고 하던군요.
수정하였습니다.
이맛클.
오늘은 실패하신듯
무리수와는 무관한 다큐 입니다.
그런데 정의를 보니 실수=유리수+무리수 라고 하니 그건 아니겠네요..
엄밀히 말해 저 평면은 데카르트 평면은 아닌거죠..
저 평면에선 구슬열과 빈 터널들 만이 숫자인
시각화를 위한 특수한 평면입니다.
감사합니다..^^
저 평면에선 점이 숫자가 아니고
선이 하나의 숫자에 대응되는 (구슬열이나 터널같은 선)
특수한 평면 이라고 생각하시면 됩니다.
??
뭘요?
클리앙을 요?
요기가 잘 이해안되네요. 노란구슬이 정수를 나타내는데 각 점이 유리수라는게요
그리드의 단위길이가 1인걸 생각헤보면
이해가 되실겁니다.
가령 2/3 라는 수는 x축으로 3가고 y축으로 2만큼 간 지점에 대응되는 숫자인거죠.
거기엔 (x=3, y=2)좌표에 대응되는 노란구슬이 있을테니
2/3이라는 유리수는 노란구슬에 대응되는 것입니다.
따라서 모든 유리수는 노란구슬을 피해서 위치할수가 없는 겁니다.
그렇다면 예를들어 내가 원점의 구슬위에 서서 x=3, y=2의 구슬을 바라볼때의 '각도'가 곧 2/3에 해당하는 거겠군요.
그렇담 무한히 작은 구슬이라 하더라도 지평선 어디를 봐도 구슬이 존재하지 않는 각도는 없지 않나요? 위 그림에서는 소실점이 있기때문에 점과 만나지 않는 어떤 각도가 있는것 처럼 보이지만요.
구슬이 존재하지 않는 터널은 존재합니다.
다만 그 터널폭은 0에 수렴하기 때문에 없는것 처럼 보일순 있죠.
하지만 0은 아니므로 터널은 존재합니다.
그게 무리수 터널인거구요...
참고로 바라보는 각도는 arctan(2/3) 이 될듯 합니다.
네 그게 유리수의 정의니까 대충 캐치는 했습니다ㅎ
다만 그게 성공적으로 visualization되었는지는...ㅎ 애초에 어렵다고 생각하기도 하구요ㅎ
뚱뚱한 구슬대신 점으로 찍으면 더 잘
가시화가 되었을까요?
적당한 그림이 없어 비슷한 다큐를 캡쳐한거라
가시성은 떨어지는게 사실입니다.
누가 이거 컴퓨터로 만들어주실분 안계실까요?
구슬에게는 죄가 없을거같습니다ㅎ
저는 회의적인게 저 평면위에 있는 점이라는건 굳이 정수가 아니라도 유리수/유리수로 나타내질 수 있다는거자나요?
그런데 무리수가 유리수/유리수로 나타내질 수 있는지 수학적 증명이 있어야할거 같습니다. (나만 모르고 있는거일지도..)
저 평면에선 점이 숫자가 아니고
선들 만이 하나의 숫자에 대응되는 (구슬열이나 터널같은 선)
특수한 평면 이라고 생각하시면 됩니다.
데카르트 평면이 아닙니다.