어떤 주어진 축을 중심으로 회전하는 점질량에 대한 스칼라 관성 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle I=mr^{2}}

여기서

{\displaystyle m} : 질량

{\displaystyle r} : 회전축으로부터 점질량 까지의 거리

이다. 또한 같은 축을 중심으로 회전하는 n개의 점질량들에 대해서 총 관성 모멘트는 각 점질량들의 관성 모멘트의 합이 된다.

{\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}

점질량들이 아닌 임의의 질량이 공간에 밀도 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}을 따라 분포되어 있을 때에는, 각 질점에 대한 합을 적분으로 바꾸어 주고 다음과 같이 스칼라 관성 모멘트를 정의할 수 있다.

{\displaystyle I=\int r^{2}\,dm=\int _{V}r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,dV}

여러 물체의 관성 모멘트

1. 가는 막대, 중심을 지나는 경우

물체의 질량을 거리의 관계식으로 나타내면

위와 같이 나타낼 수 있으며 그 질량소는

이와 같음을 알 수 있다.

이 질량소를 이용해 관성모멘트를 구하기 위해 dm에 대입하여 계산하면, 축을 기준으로 회전하는 막대의 한 쪽 부분의 관성모멘트가 구해진다.

하지만 우리가 구하려는 값은 막대 중심축을 중심으로 회전하는 관성모멘트임으로 2를 곱하여 계산하면

임을 알 수 있다.

2. 가는 막대, 한쪽 끝을 지나는 축

위와 같은 방법으로 구하면

3. 직사각형 판, 중심을 지나는 축

가로 세로가 각각 a, b 인 직사각현 판의 넓이는 ab임으로 이 직사각형 물체의 질량과 질량소는 다름과 같이 서술 할 수 있다.

이때 직사각형 위의 임의의 원자의 위치를 a와 b를 이용하여 서술하면 다음과 같다.

위에서 구한 값들을 각 항에 대입하면 다음과 같은 식이 유도된다

적분 범위가 가로a와 세로b 두 개임으로 중적분을 하여 계산한다, 이때 위의 식은 직사각형 판의 4분의1에 해당하는 부분임으로 전체 식에 4를 곱하여 우리가 구하고자 하는 직사각형 중심을 지나는 축으로 회전하는 물체의 관성모멘트를 구할 수 있다.

4. 고체 구

이 디스크의 질량소와 구의 질량은

관성모멘트를 구하면

 

 

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