저는 수학교사입니다.
동의하지 않으실지 모르겠으나 수학은 굉장히 재미있는 학문입니다.
수학은 발견의 과정을 재경험하며 유레카를 외치며 탐구의 즐거움을 제대로 느끼기에 너무나 훌륭한 과목입니다.
하지만 우리가 그렇게 배우지 못했기 때문에, 수학은 어렵고, 재미없고, 따분하고, 문제풀이나 하는 과목으로 여기고 있습니다.
그 이유는 우선 교과서에 있습니다.
수학교과서의 첫 페이지는 항상 정의가 나옵니다.
그리고 정의를 토대로 성질이 나오고 성질을 바탕으로 문제를 해결하게됩니다.
가장 첫페이지에 항상 이런형태로 나오죠.
기억하시죠? 이걸 왜하지? 하는 생각이 들면서 수학을 학습하게 만들고 있습니다.
이러한 형태로 개념을 이해하는 것은 사실 불가능합니다. 그리고 수학은 외워야 하는 것 처럼 여기게 만들죠.
그리고 또 한 가지 문제는
이처럼 예제와 문제가 짝을 이룬다는 점입니다.
이게 왜 문제인지 문제의식을 가지지 못하실 수도 있습니다.
예시가 있어야 문제를 푸는데 도움이 되는게 당연한거 아니야? 라고 생각하실 수도 있습니다.
물론 문제를 풀게 만드는 것이 목적이라면 일정부분 동의할 수도 있습니다.
하지만 수학은 문제를 잘풀게 하는 것이 목적이 아닙니다.
그리고 앞으로는 더욱 더 단순히 문제푸는 일이 중요해지지 않습니다.
수학적으로 사고하는 일이 중요합니다.
위와 같은 구조는 은연중에 학생들에게 수학은 문제를 잘풀면 되는 과목이라는 생각을 갖게 합니다. 그리고 문제를 잘 풀면 수학을 잘하는 것이라고 생각하게 됩니다.자신의 풀이가 정답인지 여부에 따라 수학에 대한 즐거움이 결정되고, 이러한 구조는 결국 극소수만 수학을 좋아할 수 밖에 없습니다.
따라서 사실 교과서는 좋은 교재가 아닙니다.
그런데 문제집은 더욱 심하기 때문에 교과서를 보라고 말하는 안타까운 현실이 아닐까 싶습니다.
그래서 대안적인 방법들을 연구하고 있고, 완벽하진 않지만 사례를 어느 정도 정립하여 중학교 3학년 자료집을 만들어 보아
이파일을 공유해 드리겠습니다.
파일첨부가 안되는거 같아 제가 운영하는 홈페이지에서 다운받을 수 있는 링크로 대체하겠습니다.
위링크에서 다운로드 버튼을 누르면 원본 pdf를 받아보실 수 있고,책자를 받아보고 싶으신분은 구입하기로 가능합니다.
다시 돌아와서, 그럼 수학은 어떻게 배워야하는 걸까요?
수학의 본질적인 즐거움은 크게 2가지라고 생각합니다. 새로운 개념을 발견하는 순간, 그리고 발견을 토대로 정리한 개념이 나의 문제를 해결하는데 도움이 되고 유용하다 느끼는 경험입니다.
예를들어, 삼각비를 배운다고 생각해보겠습니다.
먼저 교과서를 보고 시작해보겠습니다.
교과서의 삼각비는 역시 삼각비를 정의해 놓고 시작합니다. 교과서 삼각비 2번째 페이지에서 바로 만나게 되는 것이 다음과 같은 정의입니다.
익숙한 그림이시죠?
저런 모양으로 외우라고,,, 다시 말하지만 이 자료는 분명 외우라는 메세지를 학생들에게 전달합니다.
이건 외워야해! 라고 말하고 있는 것 처럼 보이지 않으시나요?
이런 과정에 학생들은 학창시절 전부 노출됩니다.
그러다보니 당연히 '왜?' 라는 질문이 사라지는 것이 아닐까요?
오바마 방한시 한국기자가 한명도 질문하지 않았던 그 암담한 현실이 사실 이러한 학습 과정에 있는건 아닐까 하며 교사로서 책임감을 느끼게 됩니다.
아마 잘은 모르지만 수학만의 문제는 아니긴 할 겁니다. 어떻게 잘 배우는 것인가가 아닌 어떻게 잘 가르치는가에 초점이 맞추어져 있고, 모든 개념이 완벽히 정립된 사람들이 교과서를 집필하다보니 연역적이고 논리적으로 완벽한 흐름으로 쓰게 되죠. 그 과정에서 학생들은 질문을 할 수 없게되고, 배움과 멀어지게 됩니다.
그럼 어떻게 해야할까요?
먼저 문제를 만나게 하는 것이 필요합니다.
그리고 문제를 해결하는 과정에서 수학적 도구가 도움이 되어야 하구요.
도움이 되는 도구를 발견했으니 잘 정의할 필요를 느끼고 정의해보아야 하고.
자신이 정의한 개념을 토대로 더 많은 문제를 해결할 수 있게되어야 합니다.
이러한 과정이 진짜 배움의 과정입니다.
그리고 이러한 과정을 통해 배우는 것이 앞으로 학생들에게 더욱 필요한 일입니다.
제가 만든 자료중 삼각비를 예로 든 이유 중 하나는 처음 시작을 단순히 교과서에 실려있을 법한 삼각비의 활용문제 중 하나를 가지고와서 시작한 형태로 제작했기 때문입니다.
삼각비 수업의 첫시간에 일반적인 교과서 흐름상 가장 마지막에 배울 문제를 가지고 온 것입니다. 다음과 같은 문제죠.
이제 푸는 방법이 핵심입니다.
자와 각도기로 닮음 도형을 직접 그립니다.(이게 핵심인데, 직접 해보지 않으면 좀 와닿지 않을 수 있습니다.)
그리고 구하고자 하는 높이를 자로 측정합니다.
그럼 밑변과 높이의 길이비를 통해 실제 높이를 계산해 볼 수 있겠죠?
이러한 문제해결은 유용한 방법입니다.
이를 잘 정리해두면 더욱유용할 겁니다.
직접 이런 표를 만들어보게 하는 것입니다.
아직 삼각비를 정의하지 않았기에 사인 탄젠트라는 용어를 사용하지 않습니다.
다만 각도와 한 변을 알때, 한 변에 곱해서 높이를 구할 수 있는 수를 구해보게 만드는 일입니다.
이게 바로 삼각비의 표가 되는 것이죠.
삼각비의 표를 직접 삼각형들을 그리고 자로 재어가며 완성하는 것입니다.
근데 표를 작성하고 대화를 나누다 보면불편함을 느낍니다.
10도일 때 밑변을 알때 높이를 구할 수 있는 수는 뭐지?
20도일 때 빗변을 알때 높이를 구할 수 있는 수는 뭐지?
이런식으로 이야기하는 것을 반복하는 것은 불편하고, 자주 사용하니 용어로 정의하자고 하면서
용어를 정의하며 삼각비를 도입하는 것이죠.
학생들에게 수학적 개념을 정의해야할 순간은 해당하는 개념이 의미있으며 정의할 필요가 있다고 느껴질 때 정의해야 하는 것입니다.
하지만 교과서는 정의를 먼저 가지고 옴으로써 학생들이 느낄 커다란 즐거움을 빼앗고 있는 것이죠.
저는 코딩도 하고, 인공지능에도 관심이 많은편입니다. 오늘 아침 sora가 만든 영상을 보며 깜짝 놀랐습니다.
chatgpt3.5가 나온지 1년반도 안된것 같은데 이런 발전속도라니...
앞으로 학생들은 무엇을 배워야할까요?
너무나 빠르게 변하기 떄문에 그 답을 확신할 수 없습니다.
하지만 분명한 것은 수학을 문제를 풀기 위한 학문이 될 필요는 전혀 없다는 것입니다. 사실 이러한 상황은 오래되었습니다만, 바뀌지 않고 있어 안타깝죠.
그리고 저는 수학이 배움의 본질을 간직한다면 앞으로도 언제나 의미있게 학생들이 배워야할 과목이라고 확신합니다.
새로운 것을 배우는 방법을 알려줄 수 있는 과목이 수학인 것이죠.
그리고 앞으로 학생들에게 가장 중요한 역량은 '배움을 즐거워 하는 역량'이 아닐까 조심스레 추측해 봅니다.
더 많은 학생들이 배움을 즐거워 하길 바라는 마음에서
쓰다보니 좀 긴글이 되어버렸습니다.
끝까지 읽어주셔서 감사합니다.
다만 "주어진" 문제에 깊은 생각을 할 시간보다는, "빠르고"&"정확하게" 답을 맞춰야 하는 식의
수학교육 및 '평가'가 말씀하신 철학을 교육으로 실천하기 어렵게 만든다고 생각해요.
그 와중에 소위 '수학머리'가 좋은 아이들은 그 아이들이 스스로 @hwanys2님 께서 추구하는
방식으로 수학을 학습하고 있다고 생각합니다.
즉, 공식을 외우기보다는 문제상황에 대한 깊은 고민과 이해를 바탕으로 기본이 되는 몇가지 정리/공리 등을 활용하여..
우리가 외워왔던 '공식', '정의' 등을 스스로 도출한다고 봐야겠죠..
학습성과가 좋다는 이유만으로 고등학교때 수학 올림피아드 대회에 출전한 적이 있는데.. (30년 정도 전의 일입니다.)
저는 한문제도 풀지 못하고 백지로 제출했고, 같이 나갔던 친구 2명은 어떻게든 문제를 풀더라구요..
거기에서 공식을 외우고 정의를 암기하는 식의 공부방법과
스스로 문제상황을 해결하는 과정을 거치는 식의 공부방법의 차이를 절감하였습니다.
그런 본성을 교육기관이 키워야 하는데, 오히려 현실은 그 반대인듯해요.
배우는 것은 즐겁고, 실제로 더 많은 일을 할 수 있게 하는 자유의 확장 같아요.
어린 아이들에게는 누구나 있는데
초등학교 중학교를 거치며 그 비율이 줄어드는게 아닌가 싶죠.
학교가 제공하는 기본 값이 배우고 싶게 만들어야 하는데, 지금은 배움의 과정보다는 결과에만 초점이 맞춰진 현실 같아, 조금이라도 변화가 생기길 기대하고 있지만 참 어려운것 같습니다.
그래도 제가 할 수 있는 일이 새로운 대안을 찾아서 만들고 공유하는 일이라 생각되어 글을 남기게 되었네요.
수학을 새롭게 알게되어 50일수학부터 시작하고 있습니다.
그넘의 입시가 뭔지 결국 수학의 생각하는 재미와 내가 생각하는 논리를 빼앗아가고
출제자의 의도를 빨리 파악해서 답을 찾아내는 기술로만 접근을 하게 되서 아쉬운것 같습니다.
더불어 김지석 형 김반석님의 수학이야기도 연결되는것 같습니다.
어른들의 도움이 의도와 다르게 그렇게 만들곤 하거든요.
특히 아이들이 해야할 중요한 부분에 도움을 주면서 쉽게 해결하게 도와주는데,
오히려 어렵게 고민하고 스스로 답을 찾아내는 경험들이 내적동기를 강하기 일으키거든요.
예를 들어, 흠....
식당에서 밥을 먹고 계산을 하는데, 얼마인지 맞춰보게 합니다 아이에게.
5500원 + 6000원을 한다고 하면
우리는 55+60만 생각해서 11500 이렇게 하는데
아이들이 머뭇거리면 그걸 그렇게 하라고 알려주게 됩니다.
충분히 기다려주고, 5500대신 55만 생각해도 되겠다는 판단을 내릴 수 있게 해야합니다.
하지만 대부분 부모들이 기다리지 못하고, 그리고 연산과정에서의 핵심적 사고가 무엇인지 판단하지 못하기 때문에
핵심적인 부분을 대신해줌으로써, 수학의 재미를 느낄 기회들을 빼앗는다고 생각해요.
갑자기 떠올리려니 예가 적당한지 모르겠으나. 아무튼.. 린돌님도 고민해보시기 바랍니다 ㅎㅎ
먹는거에 관심이 많다면.... 피자가 7조각인데 엄마가 2조각 먹고, 아빠가 4조각 먹었어..너는 몇조각 먹을수 있게? (아빠 돼지!)
게임에 관심이 있다면.... 마인크래프트에서 나무2개가 있으면 막대기 4개 만들수 있어...그럼 나무 4개 있으면 막대기 몇개 만들수 있을까?
저는 공부는 재미가 있어야 한다는 주의라서요...ㅎ
적어도 우리나라 공교육 시스템 하에서는 대학을 가기 위한 12년의 과정은 '학문에 관한 철학적 사유의 장'이 아니라 '생존기계를 위한 자동화 프로그래밍'의 장이기 때문입니다.
결국 그것을 대학에 가서 발견하곤 좌절하거나 뒤늦게 수거 활동을 하기도 하죠. ㅎ
아참 그리고 제가 드리는 말씀은 수능이 아예 필요 없다는 뜻도 아니고 무슨 특별한 대안이 있다는 뜻도 아닙니다. 그냥 선발 시스템의 문제인데 해결할 방법은 그닥 없는 것 같습니다. 지구인들이 해결할 의지가 그렇게 있는 것 같지도 않구요.
어찌 생각하면 사실 수능도 하나의 결과물 같긴합니다. 대학들의 서열. 직업군간의 빈부격차. 등이 수능을 선별의 도구로 내몬 것일 수도 있어서. 이게 사실 사회 전반의 문제일거 같거든요.
그러한 큰 문제를 제가 다루거나 변화시킬 수는 없지만, 교사로서 할 수 있는 일이 있고,
아래에서부터 변화가 생기면 언젠가는 사람들의 인식에서 변화가 생길 가능성이 있지 않을까 싶어요.
그리고 저는 학생들이 잘 배우는 것이, 오히려 어떤 문제상황에서도, 실제 그게 수능일지라도, 유리한지점에 설 수 있게 된다고 생각합니다.
우리나라 학생들은 이미 너무나 많은 시간을 학습에 허비하고 있습니다.
그 중 일부만이라도 잘배우는 시간을 가지고, 개념을 정확히 알게 된다면, 현재 사용하는 절반의 시간만 수능문제를 해결하기 위해 노력해도 되지 않겠는가 라는 생각이 있습니다.
저도 교사지만, 교사들이 평가의 문제를 핑계로 이전의 방식을 고수하는 것도 변화해야할 부분이라고 생각합니다.
잠재력을 최대로 끌어내는, 즉 뇌의 활성화가 가능하고, 개인이 발전해야 독창적인 아이디어를 세상이 받아들여 더 획기적 변화를 이룰 수 있지요. 저는 물리를 좋아하고, 바둑을 매우 즐겨한 덕분에 연구하고 가르치는 일을 업으로 하고 있습니다.
그런데 이런 저에게도 다시 고비가 찾아온게 첫째가 이제 초2 올라갑니다.
아이가 얼마 전부터 시키지도 않은 수학 공부를 하는데 옆에서 정답만 체크해줬습니다.
그런데 각 단계별로 하나의 문제를 풀어가는 방식이 다른데, 자기만의 방식으로 풀어 가길래 아무말 않고 놔뒀습니다. 단원 다 끝날 때 한번 넌지시 이건 이렇게 하라고 책에 씌여 있는데? 라고 했더니 자기도 안다고 하더군요.
그에 대한 저의 대답은 응 네가 풀고 싶은 방식으로 계속 풀어봐 라고 했지만 과연 계속 이런 스탠스를 언제까지 유지해야 할 지 고민되더군요.
고학년이 되면 수학의 난이도가 엄청 바뀐다는 주변 선배 학부모들의 조언(?)에 학원을 보내야 하나 갈등이 되는게 사실이긴합니다 . 지금은 여자애지만 수영과 태권도만 보내거든요.
부모되기 참 어렵습니다. ^^;;;
그때와는 지금 아주 많이 다르더라구요..답은 같지만 풀이 과정이나 방식들이...너무 달라서 참..제 의견을 고집할 수도 없는 노릇이고..그래서 가끔 다투기도 합니다..저도 정말 매번 고민합니다..뭐가 맞는걸까....하고...ㅠㅠ
사실 어려운거지만 핵심은 본인이 한것처럼 느끼게 만드는겁니다.
교사도 의도하는 바가 있더래도 그걸 강요하는 형태가 아닌 스스로 선택한 것 처럼 느끼게 만들어야 합니다.
그러려면 발문이 상당히 중요해지게 되죠...
말씀하신 것처럼 저도 최대한 아이 스스로 해결한 것처럼 과하지 않은 선에서 적당히 자신감을 북돋아 주려고 합니다.
'강요하는 형태가 아닌 스스로 선택한 것처럼 느끼게 만들어야 한다' 항상 기억하고 있겠습니다.
감사합니다.
수학교과서는 사실 문제가 없다고 생각합니다. 요즘 교과서는 잘 모르고 예전 5종 교과서라고 하는 시절에 나온 교과서들은 정의와 그 정의의 의미를 잘 설명하고 있었고, 대학에서 배운 내용들을 가급적 쉽게 표현하려고 되어있었습니다. 정석도 그랬고요. 근데 나중에 생각해보면, 이렇게 말하면 조금 안좋게 들리기도 하겠지만, 학교 선생님들의 설명이 그 의미를 정확히 표현하고 있었는가에 회의점이 있습니다. 이게 너무 많은, 너무 다양한 수준의 학생들을 짧은 시간내에 가르쳐야 하는 부담감도 원인이 있었을 것 같습니다.
다른 자연과학들도 마찬가지지만 수학도 20세기 이후 너무 많은 발전이 있었습니다. 그 내용을 쉽게 설명하기 위해서는 용어나 논리에 대한 충분한 설명이 필요한데 많은 학생들이 다 이해할 때까지 기다리거나 반복하기는 쉽지 않습니다. 어떤 학생은 선생님의 말을 바로 이해하기도 하지만, 어떤 학생은 스스로 많은 고민을 해야하고, 어떤 학생은 그것을 응용하는 많은 문제를 풀어야만 이해가 되기도 하거든요. 모든 사람이 꼭 다 이해를 해야하느냐 하는 문제도 있습니다.
하지만 그것을 이해한다면, 인류가 지금의 문명을 발전시켜온 하나의 축을 알게 되는 것이고, 이것은 다양한 분야에 있어서 문제를 해결할 수 있는 강력한 수단 하나를 갖게 되는 것이라 생각합니다. 고등학교를 졸업하게 되면 최소한의 수단을 익히는게 좋은데, 다른 많은 분들이 지적하듯이 입시의 수단이 되니까 어렵네요. 근데 또 생각해보면 같은 문제로 같은 시간동안 풀어서 그 결과를 가지고 평가를 하는 것 만큼 지금 시대에 공평한 수단이 또 있을까 하는 생각도 듭니다. 다들 비슷한 정도의 기회가 주어진다면 말이죠. 누가 무슨 말을 하든, 똑같은 학생에게 정말 잘 아는 선생님이 1:1로 붙어서 설명해주는 것과, 보통의 선생님이 많은 학생을 대상으로 일방적으로 얘기하는 것을 듣는 것은 이해도에 차이가 있을 수밖에 없으니까요. 정말 쉽지 않은 문제입니다.
오히려 논리적으로 형식적으로 잘 정리되어있기 때문에 처음 배우는 입장에서의 어려움을 이야기 하는 것이죠.
이미 잘알고 잘 짓기이 구축된 사람들에게 읽기 좋은 책이 교과서입니다.
그러나 배우기 시작하는. 지식을 형성하지 못한 아이들에게는 배우는 이유를 상실하게 만드는 구조랏 ㅐㅇ각합니다.
결국에는 혼자 공부하고 이해해야하는 시간이 절대적으로 필요한데
대부분 수학이 문제가 아니라 싫은 시간을 꾹 참고 들여다 볼 의지를 갖추지 못해서 포기한다고 생각합니다.
수천년에 걸쳐 인류가 알게된 것을 고작 몇년안에 다 마스터하는게 쉽지 않은 당연하다고 생각합니다.
안 그래도 부족한 시간을 학원이나 동영상 강의를 보느라 또 허비하게 되면 더 어렵죠.
그래서 그걸 배우기에는 시간이 많이 들고 그 시간을 버텨내는 훈련이 되지 않으면
수학 자체가 신기할 수는 있어도 내 걸로 체화가 되기는 어렵죠.
교과과정에서 핵심은 혼자서 꾸준히 수학 문제에 대한 독해력을 키우고,
그걸 풀 수 있는 논리 전개력을 트레이닝하면서
필수적인 공식도 암기하는 거죠.
그 정도만 해도 충분히 잘하는 겁니다.
당시에 단순히 암기를 했지만, 왜 sin, cos, tan 값을 구해야 되는지 이해가 안되었거든요.
그래서 살짝 응용한 문제가 나오면 어떤 값을 어떻게 풀이해야 할지 알기 어려웠던 기억이 나네요.
교육과정의 촛점에 대한 이야기는 길어질거 같아 생략하고, 대신 내용보다 중요한 것이 과정입니다.
공학적인내용을 대상으로 삼던, 수학 학문적인 내용을 대상으로 삼던지 중요한 것은 학생들의 호기심을 자극하는 일이고, 스스로 그 과정에 대해 발견할 수 있게 만드는 일입니다.
그러한 과정에 촛점을 옮겨 교육할 수 있게 되기를 희망합니다.
그렇기때문에 이렇게 자료를 정리할 동력이 된거구요
실패했다면 이 자료도 아마 없었을거예요
이 글이 일정부분 동의가 되는 것도 있지만 동의되지 않는 부분도 있긴 하네요.
수학은 정의의 학문이라고 합니다. 정의 내려전 명제가 있고 그 명제들의 결합, 활용, 변형으로 문제들이 출시가 됩니다.
그렇다면 어떤 것을 정의한 명제는 외워야 하는 겁니다. 수학적 사고를 위한 최소한의 지식인거죠.
"수학적 개념을 정의해야할 순간은 해당하는 개념이 의미있으며 정의할 필요가 있다고 느껴질 때 정의해야 하는 것입니다." 저는 이 말에는 동의하지 않습니다. 정의가 선행이라야 합니다. 다만 무조건 외우는게 잘못된 겁니다. 정의된 명제를 본인이 직접 유추해보고 유도해보고 계산해보는것 없이 외우기만 한다면 이건 그림을 외우는 것보다 어렵게 느껴지겠네요.
제가 수학을 좋아하면서 수학 문제를 잘 풀면서 수학적 사고를 한다고 생각하면서 어떻게 그렇게 된거가 생각해보면 어떤 단원이든 정의를 유추하는 과정이 너무 기발했고 그것에 매료되어 내가 직접 유도해보기도하고 약간의 변형을 해보기도 했던 경험이 아닌가 싶습니다.
공준이라고 하죠. 그러한 기본에서 새로운것들을 논리적인 사고과정을 통해서 새로운 정리들을 발견하는 과정들은 매우 의미가 있습니다.
하지만 대부분의 개념들의 정의를 외우는 일은 배우는 입장에서 분명 자연스러운 사고과정이 아닙니다.
특히 형식적 조작이 미숙한 아이들에게는 더욱 그렇습니다.
오히려 학생들은 구성하는 작업이 필요하고, 지식은 주입이 아닌 구성적 경험에 의해서 진행된다고 생각합니다.
하지만 수능쪽을 생각 안해볼 수가 없는데요, 이 방법은 똑똑하고 배움의 욕망이 있는 20%에게 효과적인 학습방법이 되지만 반대로 능력이 부족하거나 열의가 없는 80%가 따라하기는 힘든 방법이라는 생각도 듭니다.
안타깝게도 사회에서는 별로 수학 배우고 싶지 않은 80%도 아예 이해를 안하는 것보다는 뭔지도 모르지만 외우기라도 하는게 조금이나마 더 효과적이니까요. 그런 딜레마는 해결이 어려울 것 같습니다.
그럼에도 미래에는 특히 AI가 활성화 될수록 스스로 생각할 수 없는 사람은 살아남기 힘들것이고 AI보다 지능이 높다는 점을 활용하지 못하는 사람은 경쟁력이 없을 것이란 예상이 되어 이런 정공법이 더 널리 퍼졌으면 합니다.
하지만 그렇지 않습니다.
저는 읍면단위의 시골학생들을 대상으로 수업을 하며, 모든 학생들은 즐겁게 수업에 임합니다.
수학과제는 문턱은 낮게 천장은 높게 만들려고 노력합니다.
시작은 누구나 참여할 수 있게 만드는게 핵심이고, 그 안에서 가장 높은 수학적 사고까지 이어지도록 구성하는게 핵심이죠.
예를 든 삼각비의 문제도 문턱을 낮춥니다. 직접 그림을 그리는 과정을 통해서죠. 그리고 그 계산과정은 비례식 혹은 단순한 곱셈과 나눗셈으로 해결할 수 있게 됩니다.
그렇지만 지속되는 과정은 실제 수학적들이 했을 유사한 발견의 과정을 경험하며, 의미있는 추론과 논리적 전개를 기대하게 됩니다.
생활코딩도 먼저 목표를 그려주게 하는게 참 인상적이고 좋았습니다.
주변선생님들과 함께 만들어볼거리가 생겼네요 고민해보겠습니다.
저는 공대생인데도 수포자인데, 이제 와서도 그걸 깨고 싶어 합니다.
저를 보면 수학머리는 유전인거 같긴 하구요 ㅎㅎ
자랑이라기엔 뭣하지만 저한테 수학 과외 받은, 수학만 죽 쑤던 문과 고등학생이 3개월만에
수학에 꽂히더니 수리영역 모의고사 만점을 달성했었는데요, 동기 부여를 시켰던 사고 과정을 나열하자면:
1. 수학 교과서 목차를 쭈욱 살펴보며 이 과정들이 왜 이렇게 배치되어 있는지, 무엇을 하기 위해 이런 것들을 배우는 걸까? -> 수열, 무한 등등의 대부분의 과정이 결국 미분, 적분을 하기 위함 (물론 통계, 확률 등은 제외)
2. 미분, 적분은 무슨 쓸모가 있는가? -> 미적분이 나오던 시대 상황에 대한 설명, 뉴튼이 만유인력의 법칙을 공식으로 만들었는데 구형태의 부피를 가지고 있는 행성 간의 인력을 수식으로 나타내기 어려움. 이러한 구형태의 부피를 가진 행성을 구형태의 중심에 동일한 질량을 가진 점으로 대체해도 동일한 인력을 가지는 것임을 먼저 증명하기 위해 미적분이 필요함을 설명 (물론 이러한 역사적 배경에 대해 제가 정확히 모르는 부분이 있을 수도 있습니다)
3. 그외에도 삼각형을 비롯한 임의의 도형의 면적을 구하는 방법으로 미적분의 유용함을 제시 (물론 삼각형을 비롯한 폴리곤들은 쉬운 공식이 있지만 어떠한 형태의 도형이든 그 도형을 그리는 수식만 있으면 면적을 구할 수 있으니 얼마나 신기하냐 어필했던 기억이 나네요. 20년도 넘었지만..)
좋은 강의 너무 감사합니다~
영어책중 그래머인 유즈를 정말 싫어합니다.
그래서 영어를 할줄...
소수를 위한 교육이라고 생각해본적이 없습니다.
그리고 누구나 배우는 것은 즐거울 수 있습니다.
꼭 박사가 되어야 하나요?
저는 아직 박사는 아니지만 여전히 배우는 것이 즐겁습니다....
어떻게하면 배우는것이 즐겁다는 사실 자체를 알려줄 수 있겠느냐를 고민하는 과정인 것입니다.
그러한 삶의 태도를 학생들에게 전달하는 것 자체가 중요한 교육입니다.
그리고 그 재미는 실생활에서 필요해서가 아닙니다.
사고하는 과정, 자신이 겪는 어려움을 해결하는 과정, 그 과정에서 필요한 도구를 개발하는 경험 등에서 느껴지기를 기대하는 것이죠.
수학 한 과목 틀린 점수가 다른 모든 과목 틀린 점수 합의 두 세배인데도,
오로지 숫자로 쓰여진 로직을 암기하는거 같아서 도무지 재미가 없었어요.
저 같은 학생을 구할 메시아가 되실 듯 하네요.
그냥 딱 흥미만 느끼도 있습니다 ㅎㅎ
모든 과목이 가르칠려는 실제로는 평가할려는 양을 줄이고 왜 라는 명제를 먼저 답하고 그 다음에 생성 과정과 정의를 가리켜야 합니다. 왜 배우는 가 왜 만들어진건 가 왜 그렇게 만들어졌는가 등에 대한 것들을 가리켜야 합니다.
평가를 하기 쉽도록 과목을 왜곡시킨 학교 수업을 개혁해 제대로 배움의 장으로 만들어야 합니다.
고등학교때 음악선생님은 대단하신 분이었죠. 시험을 전혀 신경쓰지 않았으며 학생들이 음악을 즐기는 방법을 소개할려는 것에 대부분의 수업시간을 사용했죠. 그 때 소개한 클래식 라흐마니노프 피아노 협주곡 2번은 아직까지도 가끔 듣는 유일한 클래식 입니다.
선생님 말씀듣고 미적분과 확률통계를 공부해보며 배우는 즐거움을 느껴볼까합니다.
좋은 글 감사합니다.
학창 시절에는 수학을 원망했는데 알고 보니 부족한 건 제 머리였네요ㅠ
어디있다 오셨습니까?
고대로 부터 유명한 수학자는 미술가이자 건축가이며 예술가이고…. 저는 나이 들어 이걸 깨닫게 되면서 수학은 외워 암기하는게 아니라는 걸 조금 이해하게 되었습니다.
수학 문제를 볼때면 항상…
그래서 이걸 왜 풀어야하고 그래 외워서 풀면 뭐 할껀데??? 였고 그래서 수포자가 되었습니다.
수능 시험때 수학은 초반 쉬운 몇 문제만 풀고 나머지는 찍고 잠잤습니다!!!!
선생님께서
'그건 니 생각이고'
그리고 학우들이 와하하하 웃어 제끼는 바람에 얼굴이 붉어졌었지요.
그리고 중학교에 들어가 삼각함수라는걸 배우면서 ...
'이런 ㅁㄴㅇ마ㅣ덥;재ㅑㅗㅂ;3ㅐ갸ㅗ12' 하면서 분해했던 기억이 나네요.
그 선생님이 조금만 더 관심을 가져주셨더라면... 꽤나 재미있었겠다 싶은 아쉬움이 있습니다.
그때도 항상 수학 1등을 놓치지 않았었는데 말이죠 ㅠ
그렇게 느끼기 위해서는 예제가 없어져야 하고, 탐구할 시간이 충분해야 하며, 틀려도 괜찮은 문화가 만들어져야 할 것 같습니다.
https://srmath.modoo.at
섭리수학 협동조합은 창조적인 요리와 미션으로 놀이하는 수학콘텐츠를 누구나 즐겁게 배우며 부모와 아이 모두 자존, 창조, 조화로워지며 밝아지는 수학 콘텐츠를 보급하는 사회적 기업입니다. 강의, 영상, 서적, 교구를 제작 및 배포함으로써 즐겁게 놀이하며 밝아지는 수학교육을 널리 알리고자 합니다. 이를 통해 수포자, 기초학력미달, 소득에 따른 교육기회 불균등 문제를 해결하고 경력단절여성 및 취약계층 강사를 양성하는 사회적 가치를 추구해 나가고 있습니다.
제 머리는 백지가되었습니다. ㅜㅜ
위상수학 강의를 보니 수학은 없어서는 안될 학문인데
범위가 너무 광범위 하다 보니
중고등학교때 문제 풀기 위한 과목 으로서는 부적절 하지 않았나 싶고
기존 방법을 고수 하려면
완전 수준을 끌어 내리는것도 한가지 방법일것 같습니다.
이제 애기가 초딩 들어가는데 제가 먼져 공부 좀 하게요 ㅠ_ㅠ