이런문제를 다른분들에게도 동의를 받아야 하나 챙피하긴 합니다만, 이것때문에 집사람이랑 싸워서요
아이는 ★ ( 나머지)에 '0'도 포함하여 ■는 5,6,7,8,9라고 풀었고, 집사람은 답안지 보고 틀렸다고 다시풀으라고 했죠..
제가 봐주겠다고 보니, 저 역시 5,6,7,8,9가 답이라고 했습니다. ( 즉, 답안지가 틀린것이라고 했죠..)
이걸가지고, 집사람은 답안지대로 하라고 아이가 틀린거라고 우기고, 전 아니다 답안지가 틀린거다라고 하니,
성질을 내고 있네요..울화통이 터지네요...
흥분해서 참고서 만든곳에 항의를 하려고하니, 상담시간 종료.....
지난번에 첫째아이도 참고서 답안지가 틀려서, 이번처럼 " 답안지가 틀린거야" 라고 했더니, 집사람은 그때도 답안지를 신봉하고 어쩔줄을 몰라하더라고요..
참고서들 도대체 누가 만들고 있는건지..
출처 : 미래앤 - 문제해결의길잡이 원리 수학4-1
나머지가 0이면 나누어 떨어지므로
나머지는 없다고 표현하는게 맞다고 생각합니다.
나누어 떨어지지 않게 하는 ■는 6,7,8,9 라고 판단되네요.
나머지가 0 이려면, 조건에 나머지가 없는 것을 포함해서라고 나왔겠죠.
2. "한 자리 수" 조건: 초등 수학에서 "한 자리 수"는 보통 1~9를 의미합니다. 0을 한 자리 수로 보지 않는 관례가 일반적입니다.
초등 4학년 수학에서 "한 자리 수"는 보통 1~9까지의 자연수를 의미합니다. 0은 수의 크기를 나타내지 않는 자릿값으로 다루거나 '0의 개념'으로 별도 학습하므로, 연산(곱셈/나눗셈) 맥락에서는 1~9로 제한하여 생각하는 것이 일반적입니다.
주요 포인트:
4학년 수학 범위: 곱셈과 나눗셈에서 "한 자리 수"는 보통 1부터 9까지의 수를 가리킵니다.
0의 취급: 0은 자릿값을 나타내는 10, 20 등의 맥락에서 나오지만, 독립적인 '한 자리 수' 연산 문제에서는 잘 다루지 않습니다.
예외적 상황: 문제를 해결하는 과정에서 0이 결과로 나올 수 있으나, 일반적으로 '한 자리 수'라고 하면 1~9를 의미합니다.
따라서 4학년 과정에서 연산 문제를 풀 때는 1~9 범위로 생각하시면 무방합니다
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## 올림피아드의 엄밀한 관점
**1. 나눗셈 알고리즘(Division Algorithm)의 표준 정의:**
$$a = bq + r, \quad 0 \leq r < b$$
수학에서 나머지 $r$은 **0을 포함**합니다. "r > 0"이라는 조건은 기본 정의에 포함되지 않습니다.
**2. "..." 기호는 국제 수학에서 표준이 아님**
- 영미권: "$a \div b = q$ remainder $r$" 또는 "$a \equiv r \pmod{b}$"
- 한국 교과서: "$a \div b = q \cdots r$" (교육용 관례 표기)
올림피아드 문제는 애초에 이런 모호한 관례 표기를 쓰지 않습니다. 엄밀하게 "$79□ = 15 \times 5▲ + ★$, where $0 \leq ★ < 15$"처럼 썼을 겁니다.
**3. 올림피아드의 핵심 원칙: "명시된 조건만 사용"**
- 문제에 없는 조건을 "관례상 그럴 것"이라고 추가하면 감점 대상
- 오히려 **경계 조건(edge case)을 누락하면 틀린 답**
- ★ = 0은 대표적인 edge case → 반드시 포함해야 함
## 올림피아드 기준 답
**▢ = 5, 6, 7, 8, 9 (5개 모두)**
## "..." 표기가 줄 수 있는 힌트의 차이
| 관점 | "..." 해석 | ★ = 0 | 답 |
|------|-----------|-------|-----|
| 한국 초등 교과서 | 나머지 있음을 암시 | 제외 | 6, 7, 8, 9 |
| 엄밀한 수학 / 올림피아드 | 단순히 r ≥ 0인 나머지 | 포함 | 5, 6, 7, 8, 9 |
| 일본 교과서 (あまり) | 0 포함 허용 | 포함 | 5, 6, 7, 8, 9 |
## 흥미로운 메타적 관찰
이 문제는 **수학 능력**이 아니라 **교과서 관례를 얼마나 내면화했는지**를 시험합니다. 올림피아드는 정반대 철학입니다 — "당연하다고 여기지 말고, 정의로 돌아가라."
그래서 만약 실력 있는 올림피아드 참가자가 한국 초등 시험을 본다면, **정답을 틀릴 가능성이 높습니다.** ★ = 0을 당당하게 포함시킬 테니까요. 반대로 한국 초등학생이 올림피아드에서 5를 제외하면 감점됩니다.
저는 처음에 5를 포함(수학적 관점) → 제외(관례적 관점) → 제외 유지했는데, 사실 **두 답 모두 각 맥락에서 맞습니다.** 문제가 어느 맥락에 놓여있느냐에 따라 다른 거죠.
우리아이는 똑똑했으면 했는데 저는 포기 했어요.
시중에 판매되는 참고서류는 틀린 내용이 없기가 더 힘들죠.
초등학교 4학년 기준 수의 개념을 어떻게 배웠는지가 중요할 거 같고,
한자리 수에 0이 명확하게 제외되지 않았다면, 틀린 해설이죠.
(저는 0이 한자리 수에 포함된다고 생각합니다만.
예를 들어, 0+4 이거 한자리수 덧셈이라고 할 거 같거든요.
초등학생들이 어떻게 배우는지는 모르겠네요.)
다만 어떤 경우라도 아이에게는 네가 틀렸다고 말하지 마시고,
해답이 왜 저렇게 되어 있는지, 어떤 의도로 저렇게 쓰여있는지 설명해 주시는 편이 좋을 거 같다고 생각합니다.
앞으로 초중고 지나면서 틀린 문제와 해설들을 적지 않게 보게 될텐데,
'저런 실수를 하기 쉽구나.' 생각하면 된다고 알려주세요.
배운 범위 안에서 하라는데 애들은 선행 잔뜩 나가고 있거든요.
어른들이 같이 봐줄 때도 힘들구요.
제가 풀었어도 5,6,7,8,9 했을 거 같습니다.
초등수학의 범위에서는
별을 표기했다는 것은 나누어 떨어지지 않고 나머지가 있다는 의미로 이해해야 합니다.
어른의 계산에 음수가 있더라도 초등수학 문제에서는 음수나 유리수 개념이 아예 없어야 합니다.
또 0이 한자리 '숫자'일 수 있지만 어른의 생각에도 0이 한자리 수인지는 생각해 볼 문제일 수 있습니다. 0이 한자리 수면...00은 두자리 수이고 그럼 0과 00은 다른 것일까요?
(어른 생각 기준)
수학에서 1.0과 1은 같은 수라서, 0과 00도 같은 수 아닌가요?
십진법 체계에서 11은 한자리수로 표기될 수 없지만, 1을 두자리로 표기하면 01이 될 거 같은데요.
제가 글이 부족했네요. 같은 의견입니다.
'나머지가 없다는 걸 0이라고 쓸 수 있고 0은 한자리수이니 0도 정답이다'라는 논리에....
0을 '한자리수'라고 정의할 수 없다는 이야기를 하고 싶었습니다.