미국으로 이주와서 아이들에게 말은 우리말을 하고 수학은 미국에서 배우는 짐을 지게 만든 세 아이 아빱니다. 기대와는 다르게 미국의 수학 교육은 좀 엉망입니다. 단순히 한국이 선행을 많이 한다는 것을 차치하고라도, 미국 수학교육이 주입식 외우기교육에서 벗어난지 얼마 되지 않은 터라, Kahn Academy나 수학교과서 자체에도 원리가 나옵니다만, 선생님들은 그대로라서 예전에 하던대로 가르치는 경우가 많더군요. 가끔 애들한테 질문던지고 이야기하고 설명한 것들을 글로 정리하는데요. 공부핑계삼아 아이들이랑 이야기하고 노는 데 도움이 되었으면 합니다. 수학은 영어로 배운 아이들 대상이라 가끔 한글과 영어가 병기되어 있고, 주제는 매우매우 쉽습니다.
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4 ÷ 3과 4 / 3 는 왜 같을까?
분수를 배우고 어느정도 익숙해져가고 있을 무렵, "이제부터는 ÷기호 대신에 분수기호를 쓴다"는 반 주입식 선언과 함께 ÷기호가 교과서에서 점점 사라지는 걸 목도했던 기억이 납니다. '÷'을 '/'로 바꾸어 쓰는 것은 기호를 교체해서 써도 된다는 것 이상의 의미가 있습니다. 우리가 '÷'를 처음 배울때와 '/' 를 배울 때 서로 다른 지점에서 시작했거든요.
4÷3 = 4 / 3
이제는 너무 익숙해졌겠지만, 하필 저 두 표현식이 같을 필요가 있을까 하는 의문을 억지로 가지고 다시 시작해 봅시다. 4÷3 은
4라는 양을 3명에게 똑같이 나누어주었을 때 한 사람이 얼마나 가지게 되나? 즉 몫(quotient)이 얼마인가?
혹은
4라는 양을 3만큼 똑같이 나누어주면 몇 사람에게 나누어줄 수 있을까?
라는 질문을 식으로 나타낸 것입니다. 나눗셈을 처음 배울 때 그렇게 배웠었죠. 지금 우리가 붙잡고 있는 4÷3 예제에서는 첫번째 질문이 더 자연스러워 보입니다.
분수 4 / 3 은
1을 세개로 나눈 한 조각 (즉, 1 / 3) 을 4개 모아 놓은 것
이란 뜻입니다. 분수를 배울 때 저렇게 배웠었죠.
4 ÷ 3 과 4 / 3 을 그림으로 나타내면 이렇습니다.
4÷3은 마치 4에서 시작해서 3등분하면서 양이 줄어든 것 처럼 보이고, 4 / 3 은 1 / 3 이란 작은 값이 4배가 되면서 커진 것처럼 보이죠. 그럼 이 두 값은 왜 같은 걸까요?
숫자 1에서 시작해 봅시다.
1÷3 = 1 / 3
위의 식이 같다는 것은 쉽게 알 수 있을 것 같습니다. 1을 3명에게 정확하게 나누어주면, 각 사람은 1을 3등분한 한 조각을 가지게 될 테니까요.
이것에 동의했다면, 1의 4배인 4를 나누어준다면 한 사람 몫은 얼마가 될까요? 나누기 전의 값(피제수, dividened)이 정확히 4배가 되었으니, 같은 방법으로 3명에게 나누어준다면 각 사람의 몫도 정확히 4배가 되지 않을까요?
4 ÷ 3 = (4 x 1) ÷ 3 = 4 x (1 / 3) = 4 / 3
숫자 4, 3에 대해서 4÷3 = 4 / 3 이 납득되기 시작했다면, 다른 자연수에 대해서도 해 봅시다. 모든 자연수에 대해서 비슷한 방식으로 이해할 수 있다는 걸 알게 됩니다.
이것만으로 ÷기호 대신 / 를 사용하는 것이 다 설명되지는 않습니다. 자연수 두 개에 대한 나눗셈 연산에 대해서만 감을 잡아본 것이니까요.
다음 글에서는 4 ÷ (1 / 3) = 4 x 3 이 왜 되는지 알아보겠습니다. 끝.
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블로그 글이 수식이 약간 더 예쁘지만, 본문 내용은 정확히 같습니다.
아이가 한국나이 6살인데 숫자를 좋아해서 산수만큼은 직접 가르치려고 하고 있어요. 나누기 기호는 어려워해서 이렇게 생긴 분수 패드로 가르쳐주고 있는데 딱 말해주신 내용에서 왠지 찜찜했거든요. 다음편도 기대하겠습니다.
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÷ 모양이 작대기 위 아래 뭐가 있다는 걸 표현한거고, / 이거는 옆으로 표현한거라고...
1/3 X 3 = 0.999999999...가 아닌 1
이런 결과는 수학적 해법으로 1에 수렴하므로 1이다 라는 증명이 있지만...상식적으로는 잘 이해가 안가는 부분입니다.
이 기회에 진법 교육까지!!
1에 수렴해서 1이 아니고 진짜 1입니다.
x = 0.99999999999... 라고 하면
0.1x = 0.099999999... 이고
변변 빼주면
0.9x = 0.9 라서
x = 1ㅇ 됩니다
여러 수학적 해법으로 1이란건 알고 있습니다.
숫자에 대한 직관성을 얘기한겁니다.
계산기로 1나누기 3을 한 후 곱하기 3을 하면 0.9999999999...가 나옵니다.
계산기 설정을 몇번째 이상 올림을 해놓으면 물론 1이 됩니다만.
이런 비슷한 경우가 달리기 경주의 예입니다.
A가 B가 뛴 거리의 딱 절반만큼만 따라간다면 영원히 이길 수 없다고 생각되지만 수학적으로는 비기는거지요.
계산기를 언급하시는것도 잘못된게, 일반적인 계산기는 애초에 1/3을 정확히 계산 못해요.
ㅎㅎ 네~
제가 말하려는 것도 수학은 직관만으로는 이해하지 못한다는 거였어요.
컴퓨터 이전 시절에도 / 를 나누기 의미로 사용했겠죠? 분수의 - 이거 말고...
가장 기본이 되는 개념을 익히는 것이라, 설명해서 이해시키기가 어려운 내용이네요.
덕분에 오랜만에 본질적인 부분을 고민해 봤네요.
(글쓴이의 설명이 제게는 너무나 와닿고 타당한데, 아이는 이 설명을 잘 따라올지 힘들어할지 궁금하네요. 물론 타고난 수학 머리에 따라 다르겠지만요.)
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1 나누기 3 = 1/3 을 더 쉽게 설명할 방법을 고민해 봤습니다.
좌변) 1을 3개로 나누었을 때, 그 몫(3개로 나뉜것 하나 하나의 크기)이 나오게 된다.
우변) 분수의 분모를 보자. 저 3은 '1을 3개의 부분으로 나누었을 때'라는 뜻이다(그래서 2/3는 '1을 3개의 부분으로 나누었을 때, 그 중 2개의 크기'를 나타낸다. 여기선 1/3이니 그 중 1개의 크기인 것이고). 분모에는 '1'을 3개로 나누었을때라는 의미, 즉 1을 나눈다는게 중요하다.
원래는 각기 다른 목적으로 시작했는데, 나중에 두 가지가 다른게 아니라 같은 것이라는 걸 깨달은 것이지.
정말 같은 것인지 함께 고민해 보자.
역시 어렵네요. ㅎㅎㅎ.
이상을 다루고 있습니다만. 그것을 설명하기 위해서는 2차원의 언어와 직관으로 설명할 수밖에 없습니다.
점으로 선을 설명하고 선으로 면을, 면으로 공간을 설명할 수밖에 없지요. 여기에 시간이란 차원이 추가되면 공간의 논리로 설명해야 하는데 그런 논리를 쉽게 따라가지 못하는게 사차원 공간을 살아가는 인간 지능. 인식의 한계라고 생각합니다.
낮은 차원의 논리와 직관으로 이해하고 설명하기 위해 동원된 방법에는 허점이 있을 수 밖에 없고요.
인터스텔라의 다차원에 대한 형상화가 유치하게 느껴지는건 그렇게 밖에 상상할 수밖에 없는 인간 지능의 한계겠지요.
아인슈타인. 스티븐호킹...이런 수학의 천재들은 이차원을 극복하고 삼차원의 언어와 직관으로 사차원을 설명하고 있기 때문에 일반인은 쉽게 이해할 수 없습니다.
이런걸 극복하고 지구와 우주의 문제를 해석하고 해결책을 제시할 수 있는 새롭게 등장하는 신인류는 뭐다?
뉴타입!!!
곧 뉴타입이 지배하는 시대가 올것 같습니다.
기동전사 건담의 시대가...
그 이름하여 셀레스티얼 비잉구.
"근데 분수 4 / 3 은 1을 세개로 나눈 한 조각 (즉, 1 / 3) 을 4개 모아 놓은 것"이라고 할수 있는 근거가 무엇인지 궁금합니다.
그냥 4를 3개로 나눈 한 조각으로 생각할 수 없는건가요?
연재 기대해도 되는 부분입니까~~
당연히 같은게 아닌가 싶었는데요...
생활상식 카테고리여서 ...순간 어질~했네요. (아...난 상식이 없는 사람이었어 ㅠㅠㅠㅠㅠ)
그리고, "숫자 4, 3에 대해서 4÷3 = 4 / 3 이 납득되기 시작했다면,...." 이 부분...
블로그에서는 3분의 4가 4분의 3으로 표기되어 있습니다.
말씀대로 블로그에서 보는게 수식이 훨씬 더 이쁘고 눈에 잘 들어옵니다. ^^*